Динамічна система

Нехай фазовий простір X є багатовимірним простором або областю в нім, а час безперервний. Припустимо, що нам відомо, з якою швидкістю рухається кожна точка x фазового простору. Іншими словами, відома вектор-функція швидкості v(x). Тоді траєкторія точки ${\displaystyle x_{0}\in X}$ буде розв'язком автономного диференціального рівняння ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)}$ з початковою умовою ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$. Задана таким чином динамічна система називається фазовим потоком для автономного диференціального рівняння.

Нехай X — довільна множина, і ${\displaystyle f\colon X\to X}$ — деяке відображення множини X на себе. Розглянемо ітерації цього відображення, тобто результати його багатократного застосування до точок фазового простору. Вони задають динамічну систему з фазовим простором X і множиною моментів часу ${\displaystyle T=\mathbb {N} }$. Дійсно, вважатимемо, що довільна точка ${\displaystyle x_{0}\in X}$ за час 1 переходить в точку ${\displaystyle x_{1}=f(x_{0})\in X}$. Тоді за час 2 ця точка перейде в точку ${\displaystyle x_{2}=f(x_{1})=f(f(x_{0}))}$ і так далі.

Якщо відображення f оборотнє, можна визначити і зворотні ітерації: ${\displaystyle x_{-1}=f^{-1}(x_{0})}$, ${\displaystyle x_{-2}=f^{-1}(f^{-1}(x_{0}))}$ і так далі. Тим самим отримуємо систему з множиною моментів часу ${\displaystyle T=\mathbb {Z} }$.

Нерухома точка ${\displaystyle p}$ відображення ${\displaystyle f}$ називається топологічно притягаючою, якщо вона має тaкий окіл ${\displaystyle U,}$ що усі послідовні ітерації ${\displaystyle f^{on}}$ визначені усюди на ${\displaystyle U,}$ і послідовність ${\displaystyle \{f^{on}|_{U}\}}$ рівномірно збігається до сталого відображення ${\displaystyle U\rightarrow p.}$ Нерухома точка голоморфного відображення є топологічно притягаючою, коли її мультиплікатор задовільняє нерівності ${\displaystyle |\lambda |<1.}$ [1]

• Система диференціальних рівнянь

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=v\\{\frac {dv}{dt}}=-kx\end{cases}}}$

задає динамічну систему з неперервним часом, що називається «гармонічним осцилятором». Її фазовим простором є площина (x, v), де v — швидкість точки x. Гармонічний осцилятор моделює різноманітні коливальні процеси — наприклад, поведінку ваги на пружині. Його фазовими кривими є еліпси з центром в нулі.

• Нехай ${\displaystyle \varphi }$ — кут, що задає положення точки на одиничному колі. Відображення подвоєння ${\displaystyle f(\varphi )=2\varphi {\pmod {2\pi }}}$ задає динамічну систему з дискретним часом, фазовим простором якої є коло.