Принцип найменшої дії

У формулюванні Гамільтона, також відомому під назвою принцип Гамільтона-Остроградського, дія дорівнює

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)dt}$,

де ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ — функція Лагранжа. Розглядаються всі можливі траєкторії, які починаються в певній точці конфігураційного простору й закінчуються в момент часу ${\displaystyle t_{2}}$.

У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ використовують функцію Лагранжа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {E}}}$,

де ${\displaystyle \mathbf {q} }$ є узагальнені координати a ${\displaystyle \mathbf {p} }$ є узагальнені імпульси.

Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}\mathrm {d} t-{\mathcal {E}}(t_{2}-t_{1})=\mathbf {S} _{0}-{\mathcal {E}}(t_{2}-t_{1})}$

де ${\displaystyle \mathbf {S} _{0}}$ означає редуковану (скорочену) дію.

Варіація функціоналу дії ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ дає:

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta {\mathcal {S}}_{0}-{\mathcal {E}}(\delta t_{2}-\delta t_{1})}$

Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=-{\mathcal {E}}(\delta t_{2}-\delta t_{1})}$

тому варіація редукованої дії буде:

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{0}=\delta \int _{k}\mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} =0}$,

де ${\displaystyle k}$ є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретиного шляху ${\displaystyle s}$, тобто ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (s)}$, тому узагальнений імпульс можна переписати як:

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}},\mathbf {q} \right)=\mathbf {p} \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}},\mathbf {q} \right)}$

Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:

${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }}\right)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathbf {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)={\mathcal {E}}}$

Оскільки швидкість переміщення по шляху ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$ є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:

${\displaystyle \delta \int {\mathcal {F}}\left(\mathbf {q} ,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} s}},{\mathcal {E}}\right)\mathrm {d} s=0}$

Таким чином, траєкторія руху системи ${\displaystyle \mathbf {q} (s)}$ залежить від повної енергії ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}=a_{ij}\left(q^{k}\right){\dot {q}}^{i}{\dot {q}}^{j}-V(q^{k})}$, тоді підінтегральна функція приймає вигляд:

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\sqrt {2({\mathcal {E}}-V)a_{ik}{\frac {\mathrm {d} q^{i}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} q^{k}}{\mathrm {d} s}}}}}$

де ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle a_{ik}}$ залежні від ${\displaystyle q^{j}}$.

Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Моперт'юї у випадку однієї матеріальної частки:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int ds{\sqrt {2}}{\sqrt {E_{tot}-V(\mathbf {q} )}}}$

оскільки кінетична енергія ${\displaystyle T=E_{tot}-V(\mathbf {q} )}$ рівна постійній повній енергії ${\displaystyle E_{tot}}$ мінус потенціальній енергії ${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$.

Дія дорівнює

${\displaystyle W=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\sum _{j}p_{j}dq_{j}}$.

Розглядаються траєкторії, що починаються в певній точці координаційного простору ${\displaystyle q_{1}}$ і закінчуються в іншій наперед вибраній точці координаційного простору ${\displaystyle q_{2}}$ незалежно від часу, якого вимагає подолання шляху між двома точками.

Для того, щоб знайти траєкторію системи у конфігураційному просторі, необхідно перебрати усі можливі траєкторії руху й вибрати той, для якого дія буде найменшою.

Робиться це таким чином.

Спочатку розглядається довільна траєкторія ${\displaystyle q_{i}(t)}$. Потім додається довільне мале відхилення (варіація) від цієї траєкторії ${\displaystyle \delta q_{i}(t)}$, таке, щоб ${\displaystyle \delta q_{i}(t_{1})=\delta q_{i}(t_{2})=0}$. Обчислюється дія для обох траєкторій і знаходиться різниця між отриманими значеннями.

${\displaystyle \delta S=\int _{t1}^{t2}{\mathcal {L}}(q_{i}+\delta {q}_{i},{\dot {q}}_{i}+\delta {\dot {q}}_{i},t)dt-\int _{t1}^{t2}{\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)dt}$.

Траєкторія буде реалізуватися тоді, коли ця різниця буде додатною.

Враховуючи те, що відхилення мале, функцію Лагранжа можна розкласти в ряд Тейлора, відкидаючи усі квадратичні й вищі члени.

Таким чином отримують диференційне рівняння Лагранжа (або Ейлера-Лагранжа)

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$,

справедливе тоді, коли всі сили в механічній системі потенціальні.

Ця процедура називається варіаційною процедурою. Вона є стандатним методом виведення диференційних рівнянь із інтегральних законів.

• Принцип Ферма
• Варіаційне числення
• Рекомбінація

• Принцип Гамільтона-Остроградського в електромеханічних системах : [монографія] / А. Чабан; Політехніка Ченстоховська, Нац. ун-т "Львів. політехніка", Львів. нац. аграр. ун-т. - Львів : Вид-во Т. Сороки, 2015. - 463 c. - Бібліогр.: с. 450-455.
• W. R. Hamilton, «On a General Method in Dynamics.», Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308; Part II (1835) p. 95—144. (From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805-1865): Mathematical Papers edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland. (2000); also reviewed as On a General Method in Dynamics)