Дискретна теорема Гріна

Теорема була вперше представлена як неперервне продовження алгоритму Ванга «Інтегральне представлення зображення», у 2007 році на Міжнародній конференції ICCV[1], а потім знову була видана професором Doretto і його колегами[3] у рецензованому журналі у 2011 році.

визначення ${\displaystyle \alpha _{D}}$

Припустимо що ƒ є інтегровною функцією на площині R², так що:

${\displaystyle F\left(x,y\right)\equiv \int _{0}^{y}\int _{0}^{x}f\left(u,v\right)\,du\,dv}$

є її похідна функції. Нехай ${\displaystyle D\subset R^{2}}$ — прямокутна область. Тоді представимо теорему як:

${\displaystyle \iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=\sum _{{\vec {x}}\in \nabla \cdot D}\alpha _{D}\left({\vec {x}}\right)\cdot F\left({\vec {x}}\right),}$

де ${\displaystyle \nabla \cdot D}$ — множина кутів заданої області D , ${\displaystyle \alpha _{D}}$ є дискретним параметром з можливими значеннями {0, ±1, ±2}, які визначаються залежно типу кута, як показано на малюнку праворуч. Цей параметр є приватним випадком прагнення кривої[4], яка послідовно визначається за допомогою одностороннього розриву[5] крива у кутах заданої області.

Ця теорема є природним продовженням алгоритму таблиці узагальненої області. Ця теорема розширює алгоритм в у тому сенсі, цо область може буди неперервною і вона може бути сформована з (скінченого) числа прямокутників, тоді як в алгоритмі таблиці узагальненої області передбачається, що область є єдиним прямокутником.

Дискретна теорема Гріна також узагальнює теорему Ньютона-Лейбніца.

Для доведення теореми можна задіяти формулу з алгоритму «Інтегрального представлення зображення» яка включає в себе прямокутники, які утворюють цю область:

Це зображення показує, як + \ — коефіцієнти першочергової функції скорочуються у прямокутниках, окрім точок які знаходяться у кутах цієї області.

Припустимо, що функція ƒ, задана на площині R² , тоді F є її похідною функцією. Нехай D — це, область, позначена зеленим на наступному малюнку:

згідно з теоремою, задіяною у цій області, виходить наступний вираз:

${\displaystyle \iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=F\left(J\right)-2F\left(K\right)+F\left(L\right)-F\left(M\right)+F\left(N\right)-F\left(O\right)+F\left(P\right)+F\left(Q\right)-F\left(R\right).}$

Дискретна теорема Гріна в комп'ютерних програмах зі знаходження об'єктів на зображеннях і їх швидкого обчислення, а також у інтересах ефективного розрахунку ймовірностей.

У 2011 році були запропоновані способи узагальнення до теореми:

• Спосіб, запропонований професором Фам і його колегами: узагальнення теореми полігональних областей за допомогою динамічного програмування[6].
• Підхід, запропонований математиком Шахар: узагальнення теоремі на більш широкий спектр областей за допомогою оператора розриву[5] і методу інтегрування похилої лінії[7] за допомогою яких і була сформована дискретна теорема Гріна[8].

• Теорема Гріна

• Вступ в напівдискретне числення, які використовуються в дискретній теоремі Гріна.