Інтеграл

Інтеграція простежується ще в давньому Єгипті, приблизно у 1800 до н.е., Московський математичний папірус демонструє знання формули об'єму січної піраміди. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпування Евдокса (приблизно 370 до н. е.), який намагався знайти площі і об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомий. Цей метод був підхоплений і розвинутий Архімедом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Аналогічні методи були розроблені незалежно в Китаї в 3-м столітті н.е Лю Хуейєм, який використовував їх для знаходження площі круга. Цей метод був згодом використаний Цзу Чунчжи для знаходження об'єму сфери.

Основне досягнення в області інтегрування відбулося в 17-му столітті із відкриттям фундаментальної теореми числення (відомої як формула Ньютона — Лейбніца) Ньютоном і Ляйбніцом, незалежно один від одного. Теорема встановлює зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. Зокрема, фундаментальна теорема числення дозволила вирішувати більш широкий клас задач. Ньютон і Лейбніц створили комплексну математичну теорію, що є не менш важливим. Ця теорія має назву - числення нескінченно малих величин, і дозволила здійснювати точний аналіз неперервних функцій. Ці основоположні роботи зрештою стали сучасним численням, в якому була використана нотація для інтегралів, що на пряму спирається на роботи Лейбніца.

Знак інтеграла (∫), був вперше використаний Ляйбніцом наприкінці XVII століття. Цей символ утворився з букви ſ («довга s») — скорочення слова лат. ſumma (summa, сума).

Інтеграл Рімана — найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної ${\displaystyle f(x)}$, визначеній на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ та певного розбиття ${\displaystyle R}$ цього відрізку на відрізки ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ інтегральна сума визнається як

${\displaystyle \sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}},}$

де ${\displaystyle x_{i}\leq \xi _{i}\leq x_{i+1}}$ — будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відрізку ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ до нуля, то функція ${\displaystyle f(x)}$ називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ і позначається

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx}$.

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.

Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

На певній області визначення ${\displaystyle D}$ інтеграл є лінійним функціоналом на просторі функцій:

${\displaystyle ~\int _{D}af=a\int _{D}f}$

${\displaystyle ~\int _{D}f+g=\int _{D}f+\int _{D}g}$

тут ${\displaystyle ~f}$ і ${\displaystyle ~g}$ — функції, ${\displaystyle ~a}$ — число.

Якщо області ${\displaystyle D}$ та ${\displaystyle E}$ не перетинаються (або «перетинаються в точці»), інтеграл по об'єднаній області ${\displaystyle D\cup E}$ є сумою інтегралів по ${\displaystyle D}$ та ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle ~\int _{D\cup E}f=\int _{D}f+\int _{E}f}$

Якщо ${\displaystyle h_{n}(x)}$ незростаюча послідовність (тобто ${\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }$) функцій, які збігаються до нуля для всіх ${\displaystyle x}$ на області інтегрування, тоді ${\displaystyle \int h_{n}\to 0}$.

Інтеграл сталої функції-константи ${\displaystyle ~f(x)=C}$ розраховується «як площа прямокутника»

${\displaystyle ~\int _{D}C=\mu (D)C}$

де ${\displaystyle \mu (D)}$ — це «міра» області інтегрування, в простішому випадку просто довжина інтервалу, або ж «площа» області інтегрування.

Інтеграл «першого роду» на необмеженій області визначення

Інтеграл «другого роду» від необмеженої функції

Невласний інтеграл є розширенням поняття визначеного інтегралу; він дозволяє в деяких випадках обраховувати «інтеграл на нескінченості» або «інтеграл від необмеженої функції». В математичному аналізі невласним інтегралом називають границю послідовності визначених інтегралів, коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде у нескінченість.

Невласним інтегралом «першого роду» ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ називається границя ${\displaystyle \lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$, якщо вона існує.

Невласний інтеграл «другого роду» дозволяє в деяких випадках визначити «інтеграл від функції, необмеженої на інтервалі». А саме, нехай функція ${\displaystyle f(x)}$ визначена на ${\displaystyle (a,b]}$, і для кожного малого ${\displaystyle \delta >0}$ існують інтеграли ${\displaystyle \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx={I}(\delta )}$. Тоді якщо існує дійсна границя ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+0}I(\delta )=I}$, то вона зветься невласним інтегралом «другого роду».

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x² − y². Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох зміних буде інтегруватися

Кратний інтеграл або ж багатократний інтеграл степеня n, це визначений інтеграл по n змінних з функції n змінних:

${\displaystyle \int \int \int \cdots \int f(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots x_{n})\;dx_{1}\;dx_{2}\;dx_{3}\cdots \;dx_{n}}$.

Кратний інтеграл — це саме визначений інтеграл, при його обчисленні завжди виходить число

Окремі випадки багатократного інтеграла це:

• подвійний інтеграл:

  ${\displaystyle \int \int f(x,y)\;dx\;dy}$

• потрійний інтеграл:

  ${\displaystyle \int \int \int f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}$

Для геометричної інтерпретації розглянемо випадок ${\displaystyle n=2}$. Нехай функція ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ приймає в області ${\displaystyle \ D}$ тільки позитивні значення. Тоді подвійний інтеграл ${\displaystyle \iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }}$ чисельно дорівнює об'єму ${\displaystyle \ V}$ вертикального циліндрового тіла, побудованого на основі ${\displaystyle \ D}$ і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$.

Головним методом для розрахунку кратного інтеграла є зведення кратного інтеграла до повторних

Хай ${\displaystyle D\subset {{\mathbb {R} }^{d-1}}}$ — вимірна множина, ${\displaystyle G=\left\{\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right):\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\in D;\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\leq {{x}_{d}}\leq \psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\right\}}$ — також вимірна множина, ${\displaystyle f\left(X\right)}$ визначена і інтегрована на ${\displaystyle \ G}$. Тоді

${\displaystyle \int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}}$.

Будь-який d-вимірний інтеграл можна звести до d одномірних.

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтеграла Рімана на ширший клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому разі обидва інтеграли однакові. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів. Важливо зазначити, що побудова інтеграла Лебега спирається на теорію міри Лебега.

Як традиційний приклад розглянемо функцію Діріхле ${\displaystyle f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)}$, задану на ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)}$, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}$ — борелівська σ-алгебра на ${\displaystyle \,[0,1]}$, а ${\displaystyle \,m}$ — міра Лебега. Ця функція приймає значення ${\displaystyle \,1}$ в раціональних точках і ${\displaystyle \,0}$ в ірраціональних. Легко побачити, що ${\displaystyle \,f}$ не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

${\displaystyle \int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.}$

Дійсно, міра відрізка ${\displaystyle [0,1]}$ дорівнює 1, і оскільки множина раціональних чисел зліченна, то його міра дорівнює 0, значить міра ірраціональних чисел дорівнює ${\displaystyle 1-0=1}$.

Одне з основних ускладнень у використанні традиційного інтеграла Лебега полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної теорії міри.

Існує інший підхід, викладений Даніеллем в 1918 році в його статті «Загальний вид інтеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), що не має цього недоліку і що має значні переваги при узагальненні на простори вищих розмірностей і подальших узагальненнях (наприклад, у формі інтеграла Стілтьєса).

Основна ідея полягає в аксіоматизуванні поняття інтеграла. Розглянемо сімейство ${\displaystyle H}$ обмежених дійснозначних функцій (названих елементарними функціями), визначених на множині ${\displaystyle X}$, що задовольняє таким аксіомам:

1. ${\displaystyle H}$ — лінійний простір зі звичайними операціями додавання і скалярного множення.

2. ${\displaystyle h(x)\in H\Rightarrow |h(x)|\in H}$: якщо функція належить ${\displaystyle H}$, то її модуль також належить ${\displaystyle H}$

Крім того, на просторі елементарних функцій визначається позитивно визначений неперервний лінійний функціонал ${\displaystyle I}$, названий елементарний інтеграл.

1. Лінійність: якщо h і k обидва належать H, і ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ — довільні дійсні числа, тоді ${\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik}$.
2. Невід'ємність: якщо ${\displaystyle h(x)\geq 0}$, тоді ${\displaystyle Ih\geq 0}$.
3. Неперервність: якщо ${\displaystyle h_{n}(x)}$ незростаюча послідовність (тобто ${\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }$) функцій з ${\displaystyle H}$, які збігаються до нуля для всіх ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle X}$, тоді ${\displaystyle Ih_{n}\to 0}$.

Така побудова узагальненого інтеграла має деякі переваги перед методом Лебега, особливо у функціональному аналізі. Конструкції Лебега і Деніелла еквівалентні, якщо розглядати як елементарні ступінчасті функції, проте при узагальненні поняття інтеграла на складніші об'єкти (наприклад, лінійні функціонали) виникають істотні труднощі в побудові інтеграла за Лебегом. За Деніеллем інтеграл будується простіше.