Теорема Гріна

Нехай область ${\displaystyle D}$ — криволінійна трапеція (область, правильна в напрямку ${\displaystyle OY}$):

${\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,y_{1}(x)\leq y\leq y_{2}(x)\}}$

Для кривої ${\displaystyle C}$, що обмежує область ${\displaystyle D}$, задамо напрямок обходу за годинниковою стрілкою.

Тоді:

${\displaystyle \iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{y_{1}(x,y)}^{y_{2}(x,y)}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dy=\int \limits _{a}^{b}(P(x,y_{2}(x))-P(x,y_{1}(x)))\,dx=}$

${\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{2}(x))\,dx-\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{1}(x))\,dx\quad (1)}$

Помітимо, що обидва одержані інтеграли можна замінити криволінійними інтегралами:

${\displaystyle \int \limits _{C_{1}}P(x,y)\,dx=-\int \limits _{-C_{1}}P(x,y)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{1}(x))\,dx\quad (2)}$

${\displaystyle \int \limits _{C_{3}}P(x,y)\,dx=\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{2}(x))\,dx\quad (3)}$

Інтеграл по ${\displaystyle C_{1}}$ береться зі знаком «мінус», оскільки, згідно з орієнтацією контуру, ${\displaystyle C}$ напрямок обходу даної частини — від ${\displaystyle b}$ до ${\displaystyle a}$.

Криволінійні інтеграли по ${\displaystyle C_{2}}$ і ${\displaystyle C_{4}}$ дорівнюватимуть нулю, оскільки ${\displaystyle x=\operatorname {const} }$:

${\displaystyle \int \limits _{C_{2}}P(x,y)\,dx=0\quad (4)}$

${\displaystyle \int \limits _{C_{4}}P(x,y)\,dx=0\quad (5)}$

Замінимо в (1) інтеграли згідно з (2) і (3), а також додамо (4) і (5), що рівні нулю і не впливають на значення виразу:

${\displaystyle \iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=\int \limits _{C_{1}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{3}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{2}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{4}}P(x,y)\,dx}$

Оскільки обхід за годинниковою стрілкою за правої орієнтації площини є від'ємним напрямком, то сума інтегралів в правій частині є криволінійним інтегралом по замкнутій кривій ${\displaystyle C}$ у від'ємному напрямку:

${\displaystyle \iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=-\int \limits _{C}P(x,y)\,dx\quad (6)}$

Аналогічно доводиться формула:

${\displaystyle \iint \limits _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dx\,dy=\int \limits _{C}Q(x,y)\,dy\quad (7)}$

якщо за область ${\displaystyle D}$ взяти область, правильну в напрямку ${\displaystyle OX}$.

Віднімаючи (6) з (7), одержимо:

${\displaystyle \int \limits _{C}P\,dx+Q\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$