Дискретний вибір

Серія вибору це серія альтернатив, які доступні для людини. Для дискретного вибору, серія вибору повинна відповідати трьом вимогам: 

1. Серія альтернатив повинна бути колективно вичерпним, а це означає, що серія включає в себе всі можливі альтернативи. Ця вимога означає, що людина обов'язково робить вибір певної альтернативи із серії. 
2. Альтернативи повинні бути взаємовиключним, тобто вибір одного варіанта означає те, що не можна вибрати будь-які інші альтернативи. Ця вимога передбачає те, що людина вибирає тільки одну альтернативу з безлічі серії.
3. Серія повинна містити кінцеве число- альтернатив. Це третя вимога відрізняє дискретний аналіз вибору від форм регресійного аналізу, у якому залежною змінною може (теоретично) приймати нескінченне число.

До прикладу: потрібно вирішити який вид транспорту взяти людині на роботу. Вибір складається з: водіння поодинці, спільне використання автомобіля, замовлення автобусу тощо. Серія вибору ускладнюється тим, що людина може використовувати кілька транспортних засобів для даної поїздки, такі як водіння автомобіля до залізничної станції, а потім потягом на роботу. У цьому випадку Серія вибору може включати в себе всі можливі комбінації транспортних засобів. Як альтернатива, вибір може бути визначений як «первинний», з таким набором як автомобіль, автобус, залізниця та ін. (наприклад, ходьба, велосипед тощо). Зверніть увагу, що альтернатива «інший» включається для того, щоб зробити вибір із вичерпним характером.

Різні люди можуть мати різні серії вибору, в залежності від обставин. Наприклад, Scion автомобіль не був проданий в Канаді в 2009 році, так що покупці нових автомобілів в Канаді зіткнулися з різними наборами вибору від американських споживачів. Такі міркування беруться до уваги при розробці дискретних моделей вибору.

Дискретний вибір визначає ймовірність того, що людина обирає ту чи іншу альтернативу, з імовірністю вираженою як функція від спостережуваних змінних, які відносяться до альтернатив і людини. В загальному вигляді, ймовірність того, що людина n вибирає альтернативу i виражається як:

${\displaystyle P_{ni}\equiv \Pr({\text{Person }}n{\text{ chooses alternative }}i)=G(x_{ni},\;x_{nj,j\neq i},\;s_{n},\;\beta ),}$

де Xni — це вектор атрибутів альтернативи i зіткнувся віч — n,

${\displaystyle x_{nj,j\neq i}}$  вектор атрибутів інших альтернатив (окрім i), з якими стикається людина n,

${\displaystyle s_{n}}$ — це вектор характеристик людини, n, та

${\displaystyle \beta }$ це набір параметрів, що дає змогу змінним впливати на ймовірність, які оцінюються статистично.

В режимі транспорту наведеного вище, атрибути режиму (хni), таких як час і вартість, характеристики споживача (Sn), такі як річний дохід, вік і стать, можуть бути використані для розрахунку ймовірності вибору. Атрибути альтернатив можуть відрізнятися від людей; наприклад, вартість і час для поїздок на роботу на машині, автобусі і залізничним транспортом є різними для кожної людини в залежності від розташування будинку і роботи цієї людини.

Властивості:

• P_ni знаходиться між 0 і 1
• ${\displaystyle \forall n:\;\sum _{j=1}^{J}P_{nj}=1,}$ де J — загальна кількість альтернатив.
• (Очікується, що частка людей обире i) ${\displaystyle ={1 \over N}{\sum _{n=1}^{N}P_{ni}},}$ де N-число людей, які роблять вибір.

Різні моделі (тобто моделі, що використовують різні функції G) мають різні властивості. Відомі моделі представлені нижче.

Дискретний вибір моделі може бути отриманий із теорії корисності. Цей висновок корисно за трьох причин:

1. 1.Це дає точне значення ймовірності Pni 
2. Це мотивує і виділяє альтернативну модель технічної характеристики, наприклад, вибір функціональної форми G. 
3. Вона є теоретичною основою для розрахунку зміни споживчого надлишку (компенсуюча варіація) від зміни атрибутів альтернатив.

Uni- це корисність (або чиста вигода або благополуччя), що людина n отримує від вибору альтернативного i. Поведінка людини-це вигода максимізації: n людина вибирає ту альтернативу, яка забезпечує найвищу корисність. Вибір людини визначає фіктивні змінні, рн, для кожної альтернативи:

${\displaystyle y_{ni}={\begin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}\quad \forall j\neq i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Розглянемо тепер дослідника, який вивчає вибір. Вибір людини залежить від багатьох факторів, деякі з яких дослідник відзначає, а деякі — ні. Корисність в тому, що людина отримує від вибору альтернативи, яка розпадаються на частину, яка, в свою чергу, залежить від змінних, спостерігаючих дослідником та частина, яка залежить від змінних, які дослідник не спостерігає. У лінійній формі це розклад виражається як

${\displaystyle U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}}$

де

• ${\displaystyle }$ - вектор спостережуваних змінних, що стосуються альтернативної i людини n , який залежить від атрибутів альтернатив, Xn, взаємодіє, можливо, з атрибутами людини, Sn, такі, що вона може бути виражена як ${\displaystyle }$ для деякої числової функції від Z,
• ${\displaystyle }$ відповідний вектор коефіцієнтів спостережуваних змінних, 
• ${\displaystyle }$ відображає вплив усіх неспостережуваних факторів, які впливають на вибір людини.

Ймовірність вибору

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ni}&=\Pr(y_{ni}=1)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\varepsilon _{nj}-\varepsilon _{ni}<\beta z_{ni}-\beta z_{nj},\right)\end{aligned}}}$

Враховуючи, β, вибір імовірність-це імовірність того, що випадкова умова, εnj − εni (яка не є випадковою з дослідницької точки зору, оскільки дослідник не спостерігає за ними) дещо нижче відповідних величин  ${\displaystyle \forall j\neq i:\beta z_{ni}-\beta z_{nj}.}$ Інший вибір моделі (тобто різні специфікації G) виникають від різних розподілів εni для всіх і, та різні методи трактування β.

Ймовірність того, що людина вибирає ту чи іншу альтернативу визначається шляхом порівняння корисності вибору цієї альтернативи з іншими:

${\displaystyle P_{ni}=\Pr(y_{ni}=1)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj}\right)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}-U_{nj}>0\right)}$

Так як останній термін вказує на ймовірність вибору, то він залежить тільки від різниці в комунальних послугах між альтернативами, а не на абсолютному рівні комунальних послуг. Еквівалентно, додавання константи на комунальні послуги всіх альтернатив не змінює ймовірності вибору.

Різні люди можуть мати різні серії вибору, в залежності від обставин. Наприклад, Scion автомобіль не був проданий в Канаді в 2009 році, так що покупці нових автомобілів в Канаді зіткнулися з різними наборами вибору від американських споживачів. Такі міркування беруться до уваги при розробці дискретних моделей вибору.

Оскільки корисність не має одиниці виміру, необхідно нормалізувати масштаб комунальні послуги. Масштаб корисності часто визначається дисперсією помилки в дискретному виборі моделей. Це відхилення може відрізнятися в залежності від особливостей набору даних, таких, як, коли або де ці дані збираються. Нормалізація дисперсії впливає на інтерпретацію параметрів оцінками різних наборів даних.

${\displaystyle x_{nj,j\neq i}}$  вектор атрибутів інших альтернатив (окрім i), з якими стикається людина n,

Un — це утиліта (або чистий прибуток), який людина n одержує від вчинення дії (на відміну від не прийняття рішення). Програма, яку людина отримує від прийняття рішення залежить від особливостей людини, деякі з яких спостерігаються дослідником, а деякі ні. Людина виконує дію, yn = 1, Якщо Un > 0. Пропущена строка, εн, маює логістичний розподіл. У специфікації написано лаконічно, як:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Logistic}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta s_{n})}}}$

В режимі транспорту наведеного вище, атрибути режиму (хni), таких як час і вартість, характеристики споживача (Sn), такі як річний дохід, вік і стать, можуть бути використані для розрахунку ймовірності вибору. Атрибути альтернатив можуть відрізнятися від людей; наприклад, вартість і час для поїздок на роботу на машині, автобусі і залізничним транспортом є різними для кожної людини в залежності від розташування будинку і роботи цієї людини.

Опис моделі такий же самий, як і модель а, за винятком неспостережуваної умови, поширюються на нормальний розподіл, а не логістичний розподіл.

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Standard normal}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}=\Phi (\beta s_{n}),}$

де Ф є комулятивною функцією нормального розподілу.

Uni — утиліта, людина n отримує від вибору альтернативного і. Корисність кожної альтернативи залежить від атрибутів альтернатив, можливо, з атрибутами людини. Неспостережувані умови, як передбачається, мають екстремальні значення розподілу.

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n1}=\beta z_{n1}+\varepsilon _{n1}\\U_{n2}=\beta z_{n2}+\varepsilon _{n2}\\\varepsilon _{n1},\varepsilon _{n2}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {\exp(\beta z_{n1})}{\exp(\beta z_{n1})+\exp(\beta z_{n2})}}}$

Ми можемо пов'язати цю специфікацію з моделлю А, вище, яка також є бінарною логітою. Зокрема, Pn1 може також бути виражена як

${\displaystyle P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta (z_{n1}-z_{n2}))}}}$

Зауважимо, що якщо дві помилки умови це iid екстримальні значення, їх різниця розподіляється логістикою, яка є основою для еквівалентності двох комплектаціях.

Опис моделі це те ж самме, що й модель С, за винятком різниці двох неспостережуваних умов, поширюються стандартною нормальною замість логістики.

Тоді ймовірність прийняття дій

${\displaystyle P_{n1}=\Phi (\beta (z_{n1}-z_{n2})),}$

де Φ — кумулятивна функція розподілу стандартного нормального

Утиліта для всіх альтернатив залежить від тих же змінних, Sn, але різні коефіцієнти для різних альтернатив:

• U_ni = β_is_n + ε_ni,
• Оскільки тільки відмінності в корисності справу, треба нормалізувати ${\displaystyle \beta _{i}=0}$ fдля однієї альтернативи. Припускаючи, що ${\displaystyle \beta _{1}=0}$,
• εni є iid екстримальних значень.

Ймовірність вибору приймає форму

${\displaystyle P_{ni}={\exp(\beta _{i}s_{n}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta _{j}s_{n})},}$

де J-загальна кількість альтернатив.

Корисність для кожної альтернативи залежить від атрибутів цієї альтернативи, взаємодіяти, можливо, з атрибутами особистості:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{ni}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}={\exp(\beta z_{ni}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})},}$

де J — загальна кількість альтернатив.

Зверніть увагу, що модель Е може бути виражена у тій же формі, модель F відповідними респеціфікація змінних. Визначити  ${\displaystyle w_{nj}^{k}=s_{n}\delta _{jk}}$ де${\displaystyle \delta _{jk}}$ це Дельта Кронекера і Sn від моделі Е. Потім, модель F виходить при використанні

${\displaystyle z_{nj}=\left\{w_{nj}^{1},\cdots ,w_{nj}^{J}\right\}\quad {\text{and}}\quad \beta =\left\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{J}\right\},}$

де J — загальна кількість альтернатив.

Стандартна логіт-модель не завжди підходить, оскільки вона припускає, що немає ніякої кореляції в неспостережуваних факторів над альтернативами. Така відсутність кореляції виражається певною схемою заміщення серед альтернатив, яка може не завжди бути реалістичною у даній ситуації. Цю схему заміщення часто називають незалежністю від несуттєвих альтернатив(IIA) власність стандартної логіт-моделі. Дивіться Червоний автобус/блакитний автобус приклад, у якому ця картина не дотягує, або шляхом вибору прикладу. Був запропонований ряд моделей, щоб дозволити кореляцію над альтернативами і більш загальну підміну моделей:

• • Вкладені моделі Логіт — фіксують кореляції між альтернативами, шляхом поділу вибору набору в 'гніздах' 
•  Крос-вкладена Логіт-моделі (CNL) — альтернативи можуть належати більш ніж до одного гнізда. 
• С-логіт-модель — фіксує кореляції між альтернативами, використовуючи 'спільний фактор' 
•  Парні Комбінаторні Логіт-моделі — будь-який маршрут на вибір проблем. 
•  Узагальнені екстремальні моделі — загальний клас моделей, похідні від випадкових корисних моделей, до яких входить мультиноміальний логіт і належить вкладений логіт. 
•  Умовний логіт — дозволяє повну коваріацію серед альтернатив, використовуючи спільний нормальний розподіл. 
•  Змішаний логіт — дозволяє будь-яку форму кореляції і заміну моделей. При змішаному логіті спільно нормальні випадкові умови, моделі іноді називають «мультиноміальні логіт-моделі, логіт ядра», може бути застосоване до вибору маршруту.

У наступних розділах описується, Вкладенbq Логіт GEV, пробіт і змішаний Логіт моделей в деталях.

Модель така ж, як модель F хіба що з неспостережуваними компонентами корисності співвідноситься над альтернативами, а не незалежні над альтернативами.

• U_ni = βz_ni + ε_ni,
• Граничні розподіли для кожного Еni — це крайні значення, але їх спільний розподіл дозволяє кореляцію серед них. 
• Ймовірність приймає різні форми в залежності від характеру кореляції, який визначається. Дивись узагальнене екстримальне значення.

Модель така ж, як модель G за винятком того, що дотримання умови поширюються на спільно нормальний, який дозволяє будь-який візерунок кореляції та гетероскедастичності:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{n}\equiv (\varepsilon _{n1},\cdots ,\varepsilon _{nJ})\sim N(0,\Omega )\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)=\int I\left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )\;d\varepsilon _{n},}$

де ${\displaystyle }$ це спільна щільність нормального розподілу з нульовим середнім і коваріаційною ${\displaystyle }$.

Інтеграл для цього вибору ймовірно не має закриту форму, і тому ймовірність наближується квадратурно або моделюючи.

Коли ${\displaystyle \Omega }$ є одиничною матрицею (такою, що немає ніякої кореляції та гетероскедастичності), модель називається незалежним пробітом.

Змішана логіт модель стає все більш популярними в останні роки з кількох причин. По-перше, модель дозволяє β бути випадковим у додатку до ε. Хаотичність у β вміщує випадкові смакові варіації і кореляції різних альтернатив, що створює гнучкі підміни моделей. По-друге, появою в симуляції, зробили наближення моделей досить легко. Крім того, Макфадден і Потяг показали, що будь-який справжній вибір моделей може бути наближений, з будь-яким ступенем точності за змішаним логітом з відповідною специфікацією незалежних змінних і коефіцієнтів розподілу.

• U_ni = βz_ni + ε_ni,
• ${\displaystyle \beta \sim f(\beta |\theta )}$ для будь-якого розподілу ${\displaystyle {\it {f}}}$, де ${\displaystyle \theta }$ це набір параметрів розподілу (наприклад, середніх значень та дисперсії) слід оцінити,
• ε_ni ∼  iid екстримальні значення.

Моделі, описані вище, підходять для розміщення даних рейтингів та оцінок.

У багатьох ситуаціях, спостерігається ранжирування альтернатив людини, а не тільки обрана альтернатива. Наприклад, людина, яка купила новий автомобіль, можливо, запитала б, що він/вона купила, якщо б машину не запропонували, яка надає інформацію про другогий варіант людини на додаток до її першого вибору. Або, в ході опитування, респондента можуть запитати: Ймовірність вибору це Приклад: Ряд наступних сотових телефонів поданий завдяки тарифним планам, від найбільш до найменшого, за вашим бажанням. * $60 в місяць за необмежений час на хвилину, двох-річний контракт на $100 плата за дострокове розірвання договору * $30 в місяць за 400 хвилин в будь-який час, 3 центи за хвилину після 400 хвилин, один-річний контракт з $125 плата за дострокове розірвання договору * 35 $в місяць за 500 хвилин у будь-який час, 3 центи за хвилину після 500 хвилин, без контракту або плата за дострокове розірвання договору * $50 в місяць за 1000 хвилин у будь-який час, 5 копійок за хвилину після 1000 хвилин, двох-річний контракт з $75 плата за дострокове розірвання договору Моделі, описані вище, можуть бути адаптовані з урахуванням рейтингу за перше місце. Найбільш відомі моделі для ранжирування даних підірваний логіт і змішаний варіант.

При тих самих припущеннях, що і для стандартного логіту (модель F), ймовірність для ранжирування альтернатив є продуктом стандартни[ логітов. Модель називається «підірваний логіт», оскільки вибір ситуації, яка зазвичай представлена як один логіт формулою для обраної альтернативи розширюється («вибухнула») має окремий логіт формули для кожного місця альтернативи. Вибуховий логіт є продуктом стандартної логіт-моделі з вибором встановити зменшення як кожна альтернатива оцінюється і рівні набору доступних варіантів у подальшому виборі.

Без втрати спільності, альтернатива може бути створена для подання рангу, такого, що альтернатива 1 є першим вибором, 2 другий вибором і т. д. Вибір ймовірністі рейтингу J альтернативи 1, 2, …, J-це

${\displaystyle \Pr({\text{ranking }}1,2,\ldots ,J)={\exp(\beta z_{1}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}{\exp(\beta z_{2}) \over \sum _{j=2}^{J}\exp(\beta z_{nj})}\ldots {\exp(\beta z_{J-1}) \over \sum _{j=J-1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}$

Як зі стандартним логітом, розгорнута модель логіт не несе ніякої кореляції в неспостережуваних факторах над альтернативами. Підірваний логіт може бути узагальненим, точно так само, як в стандартному логіті-це узагальнені, для розміщення кореляції між альтернативами і випадковими смаковими варіаціями. «Змішаний підірваний логіт» моделіь досягається завдяки ймовірністі в рейтингу, наведений вище, для Lni в змішаній логіт-моделі (модель І).

Ця модель також відома в економічній літературі як ранг впорядкований логіт і вона була введена в цій області Беггсом, Карделем і Хаусманом в 1981 році. Одне застосування комб і співавт. документ, що пояснює рейтинг кандидатів, щоб стати професором. Він також відомий як Plackett–Luce model в біомедичної літературі.

В опитуваннях респонденти часто просять дати оцінки, такі як: Приклад: будь ласка, дайте ваш рейтинг, як працює президент. 

або Приклад: за шкалою 1-5, де 1 означає, що не згоден повністю, а 5 означає згоден повністю, наскільки ви згодні з таким твердженням: «Федеральний уряд повинен зробити більше, щоб допомогти людям, яким загрожує позбавлення права викупу їх будинків.» Мультиноміальний дискретний-вибір моделі може розглянути відповіді на ці питання (модель G, модель H, модель I). Проте, ці моделі одержані у відповідності з концепцією, що відповідач отримує деякі корисності для кожної можливої відповіді і дає відповідь, що забезпечує найбільшу корисність. Більш раціонально буде думати, що у відповідача є якісь приховані вимірювання або індекси, пов'язані з питанням і відповідь в відповідь на те, наскільки висока ця міра. Упорядкований логіт і пробіт впорядкованої моделі, отримані в рамках даної концепції.

Нехай Un являють собою здібності, почуття або думки респондента n на цю тему опитування. Припустимо, що існує пороговий рівень думки у виборі конкретної відповіді. Наприклад, у прикладі допомагати людям, яким загрожує позбавлення права викупу, людина вибирає

• 1, якщо U_n < a
• 2, якщо a < U_n < b
• 3, якщо b < U_n < c
• 4, якщо c < U_n < d
• 5, якщо U_n > d, для деяких дійсних чисел a, b,c, d.

Визначення ${\displaystyle U_{n}=\beta z_{n}+\varepsilon ,\;\varepsilon \sim }$ логістики, то ймовірність кожної можливої відповіді:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Pr(U_{n}<a)=\Pr(\varepsilon <a-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Pr(a<U_{n}<b)=\Pr(a-\beta z_{n}<\varepsilon <b-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(b-\beta z_{n}))}-{1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\&\cdots \\\Pr({\text{choosing }}5)&=\Pr(U_{n}>d)=\Pr(\varepsilon >d-\beta z_{n})=1-{1 \over 1+\exp(-(d-\beta z_{n}))}\end{aligned}}}$

Параметрами моделі є коефіцієнти β , а точками a − d, одна з яких повинна бути нормалізована для ідентифікації. Коли є тільки дві можливі відповіді, упорядкований логіт-це бінарний логіт (модель а), з однією обрізаною точкою нормалізованою до нуля.

Опис моделі такий же самий, як модель K, за винятком неспостережуваних термінів, вони мають нормальний розподіл, а не логістичний.

Вибір ймовірності(${\displaystyle \Phi }$ кумулятивна функція розподілу стандартного нормального розподілу):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Phi (a-\beta z_{n})\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Phi (b-\beta z_{n})-\Phi (a-\beta z_{n})\\&\cdots \end{aligned}}}$