Довірчий інтервал

Довірчим інтервалом параметра ${\displaystyle \theta }$ розподілу випадкової величини ${\displaystyle X}$ з рівнем довіри p[примітка 1], для вибірки ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, називається інтервал з межами ${\displaystyle l(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ та ${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, які є реалізаціями випадкових величин ${\displaystyle L(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ та ${\displaystyle U(X_{1},\ldots ,X_{n})}$, таких, що ${\displaystyle \mathbb {P} (L\leqslant \theta \leqslant U)=p}$.

Граничні точки довірчого інтервалу ${\displaystyle l}$ та ${\displaystyle u}$ називаються довірчими межами.

Тлумачення довірчого інтервалу, засноване на інтуїції, буде таким: якщо рівень довіри p великий (скажімо, 0,95 або 0,99), то довірчий інтервал майже напевно містить істинне значення ${\displaystyle \theta }$. Ще одне тлумачення поняття довірчого інтервалу: його можна розглядати як інтервал значень параметра, що є сумісними з даними дослідів і не суперечать їм.

Точніше, хоч також не зовсім формально, тлумачення довірчого інтервалу з рівнем довіри, наприклад, 95 %: якщо провести дуже велику кількість незалежних експериментів з аналогічною побудовою довірчого інтервалу, то в 95 % експериментів довірчий інтервал буде містити оцінюваний параметр ${\displaystyle \theta }$ (тобто буде виконуватися ${\displaystyle L\leqslant \theta \leqslant U}$), а в решті 5 % експериментів довірчий інтервал не міститиме ${\displaystyle \theta }$.

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю. Нехай ${\displaystyle \left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\equiv ~x~}$ — n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо. Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.

1. Визначення 1. Функція спостережень a₁(x₁,…,x_n) (зауважимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P

${\displaystyle P\{{{a}_{1}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\leq a\}\geq {{P}_{}}}$.

1. Визначення 2. Функція спостережень a₂(x₁,…,x_n) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні

${\displaystyle P\{{{a}_{1}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\geq a\}\geq {{P}_{}}}$.

1. Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)

I(x) = (a₁(x), a₂(x)), обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра a з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні a ${\displaystyle P\left\{I\left(x\right)\in a\right\}\equiv P\{~{{a}_{1}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\leq a\leq ~{{a}_{2}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\}\geq {{P}_{}}}$, тобто імовірність (що залежить від a) накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a — більше або дорівнює РД.

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики ${\displaystyle \xi =\xi \left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)}$, по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка ${\displaystyle \xi ={\hat {a}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)}$). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина ${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi ,a)}$, що залежить від статистики ${\displaystyle \xi }$ і невідомого параметра a така, що:

1. закон розподілу відомий і не залежить від a;
2. ${\displaystyle \varphi (\xi ,a)}$ є неперервною та монотонною по.

Виберемо діапазон для ${\displaystyle \varphi }$ інтервал ${\displaystyle ({{f}_{1}},{{f}_{2}})}$ так, щоб влучення в нього було практично вірогідно: ${\displaystyle P\{f_{1}\leq \varphi (\xi ,a)\leq f_{2}\}\geq P}$ для чого досить як ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ взяти квантилі розподілу ${\displaystyle \varphi }$ рівня (1- РД)/2 і (1+ РД)/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв'язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що ${\displaystyle \varphi }$ монотонно зростає по a): ${\displaystyle {P}\{{g}(\xi ,f_{1})\leq {a}\leq {g}(\xi ,f_{2})\}\geq {P}}$. Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a, і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал ${\displaystyle (g(\xi ,{{f}_{1}}),g(\xi ,{{f}_{2}}))}$ є довірчим для a з рівнем довіри РД. Якщо ${\displaystyle \varphi }$ спадає по a, інтервалом є ${\displaystyle (g(\xi ,{{f}_{2}}),g(\xi ,{{f}_{1}}))}$. Для побудови однобічної границі для a виберемо значення ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ так, щоб ${\displaystyle ~~~~~~{P}\{\varphi (\xi ,a)\geq {{f}_{1}}\}\geq {{P}_{}},~~~~~{{f}_{1}}=Q\left(1-{{P}_{}}\right)}$ чи ${\displaystyle {P}\{\varphi (\xi ,a)\leq {{f}_{2}}\}\geq {{P}_{~}}{{,}_{~~~~}}~{{f}_{2}}=Q\left({{P}_{}}\right)}$ де ${\displaystyle Q(P)}$ — квантиль рівня ${\displaystyle P}$. Після розв'язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.

Рисунок — Довірчі межі та довірчі ймовірності.

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95. Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.

• Ймовірність випадкової величини
• Довірчий інтервал для коваріації випадкових величин
• Імовірний інтервал § Довірчий інтервал
• Довірча смуга

Сеньо П. С. (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге, перероб. і доп.). Київ: Знання. с. 446.