Довірчий інтервал для коваріації випадкових величин

Нехай ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N_{1}} (\mathbb {E} X)}$ і ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}\sim \mathrm {N_{2}} (\mathbb {E} Y)}$ — незалежні вибірки з нормальних розподілів, де ${\displaystyle \mathbb {E} X}$ і ${\displaystyle \mathbb {E} Y}$ — відомі середні. Означемо довільне ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ і побудуємо ${\displaystyle \alpha }$-довірчий інтервал для невідомої коваріації ${\displaystyle \mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$.

Твердження. Випадкова величина

${\displaystyle H={\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}}={\frac {\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}{\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}}=1}$

має розподіл ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$. Нехай ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ — ${\displaystyle \alpha }$-процентіль цього розподілу. Тоді маємо:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n}^{2}\leq H\leq \chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n}^{2}\right)=\alpha }$.

Після підстановки виразу для ${\displaystyle H}$ і неважких алгебраїчних перетворень отримуємо:

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n}^{2}}}\leq \mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\leq {\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n}^{2}}}\right)=\alpha }$.