Друга квадратична форма

Друга фундаментальна форма параметрично заданої поверхні ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ була введена і вивчена Гаусом. Припустимо спочатку, що графіком поверхні є двічі безперервно диференційована функція ${\displaystyle z=f(x,y)}$, і, що площина ${\displaystyle z=0}$ буде дотичною площиною до поверхні в початку координат. Тоді ${\displaystyle f}$ і його часткова похідна ${\displaystyle s}$ по відношенню до ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ обернеться в нуль в ${\displaystyle (0,0)}$. Таким чином, ряд Тейлора функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle (0,0)}$ починається з квадратичних членів:

${\displaystyle z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+\ \ }$ доданки вищого порядку

і друга фундаментальна форма на початку координат в координатах ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ є квадратична форма

${\displaystyle L\,{\text{d}}x^{2}+2M\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y+N\,{\text{d}}y^{2}.\,}$

Для гладкої точки ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle S}$, можна вибрати систему координат таким чином, щоб площина ${\displaystyle z=0}$ проходила була дотичною до поверхні ${\displaystyle S}$ в точці ${\displaystyle P}$, тому можна визначити другу фундаментальну форму таким же чином.

Друга фундаментальна форма загальної параметрично заданої поверхні визначається наступним чином. Нехай ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)}$ буде регулярною параметризацією поверхні в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, де ${\displaystyle \mathbf {r} }$ є гладкою вектор-функцією від двох змінних. Вона є спільною для часткових похідних ${\displaystyle \mathbf {r} }$ по ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$, які позначаються як ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}}$ і ${\displaystyle \mathbf {r} _{v}}$. Регулярність параметризації ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}}$ і ${\displaystyle \mathbf {r} _{v}}$, означає, що вони лінійно незалежні для будь-якої точки ${\displaystyle (u,v)}$ в області ${\displaystyle \mathbf {r} }$, і, отже, породжують дотичну площину ${\displaystyle S}$ в кожній точці. Це рівнозначно тому, що векторний добуток ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$ буде ненульовим вектором нормалі до поверхні. Таким чином, параметризація визначає поле одиничного вектора нормалі ${\displaystyle \mathbf {n} }$:

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.}$