Векторний добуток

Сумісний початки векторів в одній точці. Упорядкована трійка некомпланарних векторів ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ у тривимірному просторі називається правою, якщо з кінця вектора ${\displaystyle {\vec {c}}}$ найкоротший поворот від вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ до вектору ${\displaystyle {\vec {b}}}$ видно спостерігачеві проти годинникової стрілки. І навпаки, якщо найкоротший поворот видно за годинниковою стрілкою, то трійка називається лівою.

Знаходження напрямку векторного добутку використовуючи правило правої руки

Інше визначення пов'язане з правою рукою людини, звідки і взято назву. На малюнку трійка векторів ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$ є правою.

Існує також аналітичний спосіб визначення правої і лівої трійки векторів, який вимагає задання у розглянутому просторі правої або лівої системи координат, причому не обов'язково прямокутної і ортонормованої.

Потрібно скласти матрицю, першим рядком якої будуть координати вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$, другим — вектора ${\displaystyle {\vec {b}}}$, третім — вектора ${\displaystyle {\vec {c}}}$. Потім, залежно від знака визначника цієї матриці, можна зробити такі висновки:

• Якщо визначник додатний, то трійка векторів має ту ж орієнтацію, що й система координат.
• Якщо визначник від'ємний, то трійка векторів має орієнтацію, протилежну орієнтації системи координат.
• Якщо визначник дорівнює нулю, то вектори компланарні (лінійно залежні).

Визначення «правої» і «лівої» трійки векторів залежать від орієнтації простору, але не вимагають задання у розглянутому просторі будь-якої системи координат, як і не вимагає цього визначення самого векторного добутку. При цьому формули вираження координат векторного добутку через координати вихідних векторів будуть відрізнятися знаком у правій і лівій прямокутній системі координат.

Всі праві між собою (і ліві між собою) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

За заданої орієнтації простору система координат називається правою (лівою), якщо трійка з векторів з координатами ${\displaystyle (1,0,0)}$, ${\displaystyle (0,1,0)}$, ${\displaystyle (0,0,1)}$ є правою (лівою).

Геометричне визначення і визначення за допомогою руки самі задають орієнтацію простору. Алгебраїчне визначення задає спосіб розбиття трійок некомпланарних векторів на два класи однаково орієнтованих векторів, але воно не задає орієнтації простору, а використовує вже задану — ту, на підставі якої дана система координат вважається правою або лівою. При цьому, якщо орієнтація системи координат невідома, можна порівнювати знак визначника зі знаком визначника іншої трійки некомпланарних векторів, орієнтація якої відома — якщо знаки збігаються, то трійки однаково орієнтовані, якщо знаки протилежні — трійки протилежно орієнтовані.

Малюнок 1: Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку.

Малюнок 2: Об'єм паралелепіпеда при використанні векторного і скалярного добутку векторів; пунктирні лінії показують проекції вектора c на a × b і вектора b × c на a. Це відповідає різним способам обчислення об'єму.

• Необхідною і достатньою умовою колінеарності двох ненульових векторів є рівність нулю їх векторного добутку.
• Модуль векторного добутку ${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}$ дорівнює площі ${\displaystyle S}$ паралелограма, побудованого на зведених до спільного початку векторах ${\displaystyle {\vec {a}}}$ і ${\displaystyle {\vec {b}}}$ (див. малюнок 1)
• Якщо ${\displaystyle {\vec {e}}}$ — одиничний вектор, ортогональний векторам ${\displaystyle {\vec {a}}}$ і ${\displaystyle {\vec {b}}}$ і вибраний так, що трійка ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}}$ — права, а ${\displaystyle S}$ — площа паралелограма, побудованого на них (зведених до спільного початку), то для векторного добутку справедлива формула:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.}$

• Якщо ${\displaystyle {\vec {c}}}$ — який-небудь вектор, ${\displaystyle \pi }$ — будь-яка площина, яка містить цей вектор, ${\displaystyle {\vec {e}}}$ — одиничний вектор, що лежить у площині ${\displaystyle \pi }$ і ортогональний до ${\displaystyle {\vec {c}}}$, ${\displaystyle {\vec {g}}}$ — одиничний вектор, ортогональний до площини ${\displaystyle \pi }$ і спрямований так, що трійка векторів ${\displaystyle {\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}}$ є правою, то для будь-якого вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$, що лежить у площині ${\displaystyle \pi }$, справедлива формула

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec {c}}|\cdot {\vec {g}}.}$

• При використанні векторного і скалярного добутків можна вирахувати об'єм паралелепіпеда, побудованого на зведених до спільного початку векторах a, b і c (див. малюнок 2). Такий добуток трьох векторів називається мішаним.

${\displaystyle V=|\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle |.}$

На малюнку показано, що цей об'єм може бути знайдений двома способами: геометричний результат зберігається навіть при заміні «скалярного» і «векторного» добутків місцями:

${\displaystyle V=\langle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle .}$

Величина векторного добутку залежить від синуса кута між початковими векторами, тому векторний добуток може сприйматися як степінь «перпендикулярності» векторів так само, як і скалярний добуток може розглядатися як степінь «паралельності». Векторний добуток двох одиничних векторів дорівнює 1 (одиничного вектора), якщо початкові вектори перпендикулярні, і дорівнює 0 (нульовому вектору), якщо вектори паралельні або антипаралельні.

Далі ${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}$ і ${\displaystyle \langle {\vec {a}},\;{\vec {b}}\rangle }$ позначають відповідно векторний і скалярний добуток векторів ${\displaystyle {\vec {a}}}$ і ${\displaystyle {\vec {b}}}$.

Подання	Опис
${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]}$	Антикомутативність.
${\displaystyle [\alpha \cdot {\vec {a}},\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;\alpha \cdot {\vec {b}}]=\alpha \cdot [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}$	Ассоціативність множення на скаляр.
${\displaystyle [{\vec {a}}+{\vec {b}},\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}]+[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]}$	Дистрибутивність за додаванням.
${\displaystyle [[{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b}},\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]=0}$	Тотожність Якобі.
${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {a}}]={\vec {0}}}$
${\displaystyle [{\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec {a}},\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a}},\;{\vec {b}}\rangle }$	Формула «БАЦ мінус ЦАБ», тотожність Лагранжа.
${\displaystyle |[{\vec {a}},\,{\vec {b}}]|^{2}+\langle {\vec {a}},\,{\vec {b}}\rangle ^{2}=|{\vec {a}}|^{2}\cdot |{\vec {b}}|^{2}}$	Частковий випадок мультиплікативності норми кватерніонів.
${\displaystyle \langle [{\vec {a}},\,{\vec {b}}],\,{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\,[{\vec {b}},\,{\vec {c}}]\rangle }$	Значення цього виразу називають мішаним добутком векторів ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$.

Якщо два вектори ${\displaystyle {\vec {a}}}$ і ${\displaystyle {\vec {b}}}$ подані у правому ортонормованому базисі координатами

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},\;a_{y},\;a_{z}),}$

${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x},\;b_{y},\;b_{z}),}$

то їх векторний добуток має координати

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).}$

Для запам'ятовування цієї формули зручно використовувати символічний визначник:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},}$

де ${\displaystyle \mathbf {i} =(1,0,0)}$, ${\displaystyle \mathbf {j} =(0,1,0)}$, ${\displaystyle \mathbf {k} =(0,0,1)}$, або

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}$

де ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ — символ Леві-Чивіти.

Якщо базис лівий ортонормований, то векторний добуток у координатах має вигляд

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).}$

Для запам'ятовування, аналогічно:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},}$

або

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\cdot a_{j}\cdot b_{k}.}$

Формули для лівої системи координат можна отримати з формул правої системи координат, записавши ті ж вектори ${\displaystyle {\vec {a}}}$ і ${\displaystyle {\vec {b}}}$ у допоміжній правій системі координат (${\displaystyle \mathbf {i} '=\mathbf {i} ,\mathbf {j} '=\mathbf {j} ,\mathbf {k} '=-\mathbf {k} }$):

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\\a'_{x}&a'_{y}&a'_{z}\\b'_{x}&b'_{y}&b'_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &-\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&-a_{z}\\b_{x}&b_{y}&-b_{z}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.}$

Векторний добуток у довільній афінній системі координат ${\displaystyle O{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}}$ має координати

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\begin{vmatrix}[{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}]&[{\vec {e}}_{3},\;{\vec {e}}_{1}]&[{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2}]\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.}$

Координати векторного добутку в правому ортонормованому базисі можна також записати в кватерніонній формі, тому букви ${\displaystyle \mathbf {i} }$, ${\displaystyle \mathbf {j} }$, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — стандартні позначення для ортів в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$: вони розглядаються як уявні кватерніони.

Зауважимо, що співвідношення через векторний добуток між ${\displaystyle \mathbf {i} }$, ${\displaystyle \mathbf {j} }$ і ${\displaystyle \mathbf {k} }$ відповідають правилам множення для кватерніонів ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ і ${\displaystyle k}$. Якщо уявити вектор ${\displaystyle (a_{1},\;a_{2},\;a_{3})}$ як кватерніон ${\displaystyle a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k}$, то векторний добуток двох векторів виходить взяттям векторної частини від добутку відповідних їм кватерніонів. Скалярний добуток цих векторів протилежний скалярній частині добутку цих кватерніонів.

Векторний добуток двох векторів у координатах у правому ортонормованому базисі можна записати як добуток кососиметричної матриці і вектора:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}}]_{\times }{\vec {b}}={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle [{\vec {b}},\;{\vec {a}}]={\vec {b}}^{T}[{\vec {a}}]_{\times }={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}},}$

де

${\displaystyle [{\vec {a}}]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}$

Нехай ${\displaystyle {\vec {a}}}$ дорівнює векторному добутку:

${\displaystyle {\vec {a}}=[{\vec {c}},\;{\vec {d}}],}$

тоді

${\displaystyle [{\vec {a}}]_{\times }=({\vec {c}}{\vec {d}}^{T})^{T}-{\vec {c}}{\vec {d}}^{T}.}$

Така форма запису дозволяє узагальнити векторний добуток на вищі розмірності, подаючи псевдовектори (кутова швидкість, індукція тощо) як такі кососиметричні матриці. Ясно, що такі фізичні величини будуть мати ${\displaystyle n(n-1)/2}$ незалежних компонент у ${\displaystyle n}$-вимірному просторі. У тривимірному просторі виходять три незалежні компоненти, тому такі величини можна подавати як вектори цього простору.

З такою формою запису також здебільшого простіше працювати (наприклад, в епіполярній геометрії).

Із загальних властивостей векторного добутку випливає, що

${\displaystyle [{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {a}}={\vec {0}}}$ і ${\displaystyle {\vec {a}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }={\vec {0}},}$

а оскільки ${\displaystyle [{\vec {a}}]_{\times }}$ кососиметрична, то

${\displaystyle {\vec {b}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {b}}=0.}$

У такій формі запису легко довести тотожність Лагранжа (правило «БАЦ мінус ЦАБ»).

У тривимірному випадку можна визначити в координатах у довільному базисі векторний добуток матриць і добуток матриці на вектор. Це робить очевидним зазначений вище ізоморфізм і дозволяє спростити багато викладок. Подамо матрицю ${\displaystyle A}$ як стовпець векторів, тоді

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix}}\times {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2}\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\times {\vec {b}}\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2}\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\cdot {\vec {b}}\end{bmatrix}}.}$

Множення матриці на вектор зліва визначається аналогічно, якщо подати ${\displaystyle A}$ як рядок векторів. Транспонування матриці, відповідно, переводить рядок векторів у стовпець векторів, і навпаки. Легко узагальнити багато співвідношень для векторів на співвідношення для векторів і матриць, наприклад (${\displaystyle A}$ — матриця, ${\displaystyle {\vec {x}}}$, ${\displaystyle {\vec {y}}}$ — вектори):

${\displaystyle A\cdot ({\vec {x}}\times {\vec {y}})=(A\times {\vec {x}})\cdot {\vec {y}},}$

${\displaystyle A\times ({\vec {x}}\times {\vec {y}})={\vec {x}}(A\cdot {\vec {y}})-{\vec {y}}(A\cdot {\vec {x}}).}$

Після цього можна змінити форму запису для векторного добутку:

${\displaystyle {\vec {x}}\times {\vec {y}}=E\cdot ({\vec {x}}\times {\vec {y}})=(E\times {\vec {x}})\cdot {\vec {y}},}$

${\displaystyle E}$ — одинична матриця. Звідси очевидні існування і вигляд матриці, що відповідає векторному множенню на вектор ліворуч. Аналогічно можна отримати вираз для множення матриці на вектор праворуч. Поширюючи операції над векторами на матриці покомпонентно, подаючи їх як «вектори з векторів», стандартні співвідношення для векторів легко узагальнюються на матриці. Наприклад, теорема Стокса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ набуде вигляду:

${\displaystyle \int \limits _{\Sigma }\operatorname {rot} \,\mathbf {A^{T}} \,\mathbf {d\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot \,d\mathbf {r} ,}$

де ротор матриці ${\displaystyle A}$ обчислюється як векторний добуток матриці ${\displaystyle A}$ на оператор Гамільтона зліва (базис вважається правим ортонормованим). У цих позначеннях дуже легко довести, наприклад, такі форми теореми Стокса:

${\displaystyle \int \limits _{\Sigma }\operatorname {grad} \,u\times \,\mathbf {d\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }u\,d\mathbf {r} ,}$

${\displaystyle \int \limits _{\Sigma }\left[\mathbf {d\Sigma }$ ;\left[\nabla ;\mathbf {a} \right]\right]=\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {a} \times d\mathbf {r} .}

Нехай ${\displaystyle n}$ — розмірність простору.

Векторний добуток, що володіє всіма властивостями звичайного тривимірного векторного добутку, тобто бінарне білінійне антисиметричне невироджене відображення ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$можна ввести тільки для розмірностей 3 і 7.

Однак є просте узагальнення на інші натуральні виміри, починаючи з 3, а якщо потрібно — і на розмірність 2 (останнє, щоправда, дещо специфічним чином). Тоді це узагальнення, на відміну від неможливого, описаного трохи вище, вводиться не для пари векторів, а лише для набору ${\displaystyle (n-1)}$ векторів-співмножників. Цілком аналогічно мішаному добутку, природно узагальнюваному в ${\displaystyle n}$-вимірному просторі на операцію з ${\displaystyle n}$ співмножниками. Використовуючи символ Леві-Чивіти ${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3}\ldots i_{n}}}$ з ${\displaystyle n}$ індексами можна явно записати такий ${\displaystyle (n-1)}$-валентний векторний добуток як

${\displaystyle P_{i}(\mathbf {a,\;b,\;c,\;\ldots } )=\sum _{j,\;k,\;m,\;\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a_{j}b_{k}c_{m}\ldots =\det({\begin{pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf {e_{n}} \end{pmatrix}}\mathbf {,a,b,c,\ldots } )\cdot \mathbf {e_{i}} ,}$

Таке узагальнення дає гіперплощу розмірності ${\displaystyle n-1}$.

Якщо потрібно ввести операцію саме для двох співмножників, що має геометричний сенс, гранично близький до змісту векторного добутку (тобто представляє орієнтовану площу), то результат вже не буде вектором, оскільки при ${\displaystyle n\neq 3}$ не знайдеться єдиної, однозначно визначеної нормалі до двовимірної площини, натягнутої на множники. Можна ввести бівектор, компоненти якого дорівнюють проекціям орієнтованої площі паралелограма, натягнутого на пару векторів, на координатні площини:

${\displaystyle \ P_{ij}(\mathbf {a,b} )=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}$.

Ця конструкція називається зовнішнім добутком.

Для двовимірного випадку операція

${\displaystyle \ P(\mathbf {a,b} )=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$.

називається псевдоскалярним добутком, оскільки отримуваний простір одновимірний і результат є псевдоскаляром. (Двоіндексний зовнішній добуток, описаний вище, можна ввести і для двовимірного простору, однак він, очевидно, досить тривіально пов'язаний зі псевдоскалярним добутком, а саме зовнішній добуток у цьому випадку подається матрицею, на діагоналі якої нулі, а два недіагональні елементи, що залишилися, дорівнюють псевдоскалярному добутку і мінус псевдоскалярному добутку).