Елементарний симетричний многочлен

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що ${\displaystyle P(e_{1},\ldots ,e_{n})=0.}$ Для доведення цього факту, на множині всіх одночленів ${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\ldots x_{n}^{a_{n}}}$ можна ввести два відношення лінійного порядку:

• Перше відношення ${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\ldots x_{n}^{a_{n}}>x_{1}^{b_{1}}\ldots x_{n}^{b_{n}}}$ якщо ${\displaystyle a_{j}+\ldots +a_{n}>b_{j}+\ldots +b_{n}}$ для найменшого індексу j для якого ${\displaystyle a_{j}+\ldots +a_{n}\neq b_{j}+\ldots +b_{n}}$.
• Друге відношення є лексикографічним упорядкуванням, тобто ${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\ldots x_{n}^{a_{n}}>x_{1}^{b_{1}}\ldots x_{n}^{b_{n}},}$ якщо ${\displaystyle a_{j}>b_{j}}$ для найменшого індексу j для якого ${\displaystyle a_{j}\neq b_{j}}$.

Якщо P є ненульовим многочленом, то його можна записати, як суму одночленів виду ${\displaystyle cy_{1}^{a_{1}-a_{2}}y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\ldots y_{n-1}^{a_{n-1}-a_{n}}y_{n}^{a_{n}}.}$ Нехай ${\displaystyle ky_{1}^{a_{1}-a_{2}}y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\ldots y_{n-1}^{a_{n-1}-a_{n}}y_{n}^{a_{n}}}$ є одночленом, що є найбільшим у першому впорядкуванні. Тоді підставляючи ${\displaystyle y_{i}=e_{i}}$ і розписуючи одержаний вираз, як многочлен від ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ одержуємо, що найбільший у другому впорядкуванні одночлен одержаного многочлена має вигляд ${\displaystyle kx_{1}^{a_{1}}\ldots x_{n}^{a_{n}}.}$ Якщо тепер ${\displaystyle P(e_{1},\ldots ,e_{n})=0,}$ то k=0, а тому і ${\displaystyle P=0.}$

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}),}$

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{n-d}&=\textstyle (-1)^{d}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{d}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{d}}\\&{}\ \,\vdots \\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\\\end{aligned}}}$

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ з коефіцієнтами з R.

• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)
• Smith, Larry (1995). Polynomial invariants of finite groups. Research notes in mathematics 6. AK Peters. ISBN 9781568810539.