Ефект Саньяка

Зсув інтерференційних смуг можна розглядати як простий результат різниці шляхів розповсюдження двох променів світла, обумовлений обертанням платформи. Найпростіше виведення базується на круглому кільці, що обертається з кутовою швидкістю ${\displaystyle \omega }$, проте отриманий результат може бути розповсюджений і на інші форми шляху. Якщо джерело світла випромінює в двох протилежних напрямах кільця, що обертається, тоді світло в напрямі обертання пройде більший шлях по відношенню до світла, в протилежному напрямі і досягне джерела в момент часу ${\displaystyle t_{1}}$:

Світло розповсюджується в протилежних напрямах і проходить різні шляхи, повертаючись знову до джерела.

${\displaystyle t_{1}={\frac {2\pi R+\Delta L}{c}}}$

де ${\displaystyle \Delta L}$ — різниця шляхів двох променів (чорна жирна стрілка на фігурі) :

${\displaystyle \Delta L=R\omega t_{1}.\,}$

Виключаючи ${\displaystyle \Delta L}$ з обох рівнянь можна отримати:

${\displaystyle t_{1}={\frac {2\pi R}{c-R\omega }}.}$

Подібним чином можна отримати час проходження другого променя, який прямує назустріч обертанню платформи:

${\displaystyle t_{2}={\frac {2\pi R}{c+R\omega }}.}$

Тоді різниця часу буде:

${\displaystyle \Delta t=t_{1}-t_{2}={\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}}.}$

Оскільки ${\displaystyle R\omega =v\ll c}$ тому можна спростити даний вираз до

${\displaystyle \Delta t\approx {\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}}}={\frac {4A\omega }{c^{2}}},}$

де A — площа кільця, в якому розповсюджується світло. Цей результат може бути розповсюджений для любої форми замкненого шляху сумарна площа якого;A.

Можна використовувати уявний екран для спостереження інтерференційної картини, а можна використовувати роздільник світла для направлення результату на матеріальний екран. Якщо світло має форму імпульсів, коротших за ${\displaystyle \Delta t}$, тоді інтерференційної картини не буде. Проте в експериментах використовують стаціонарні джерела світла (в тому числі і неперервні лазери) і тому спостерігається стабільна інтерференційна картина. Фазовий зсув має вигляд ${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {2\pi c\Delta t}{\lambda }}}$, що викликає зсув інтерференційної смуги пропорційно до площі ${\displaystyle A}$ та кутової швидкості (вортісіті/vorticity) ${\displaystyle \omega }$.

У випадку розповсюдження світла у вакуумі дорелятивістські та релятивістські моделі дають один і той же результат. Іншими словами, у випадку вакуумного ефекту Саньяка експеримент не розрізняє між дорелятивістською та релятивістською фізиками.

У випадку матеріального середовища (матеріального медіа) з певним коефіцієнтом заломлення ефект Саньяка може бути розглянутий із врахуванням коефіцієнту захвату Френеля[10]. В цьому випадку швидкості променів вздовж обортання і навпаки можуть бути подані у вигляді:

${\displaystyle v_{f}^{\pm }={\frac {c}{n}}\pm (1-f)R\omega }$,

де ${\displaystyle f=1-1/n^{2}}$ — коефіцієнт захвату Френеля. Тоді результуючі швидкості можна переписати у вигляді:

${\displaystyle v_{f}^{\pm }={\frac {c}{n}}\pm {\frac {R\omega }{n^{2}}}}$.

Час, який витрачають два промені світла для обходження кільця буде:

${\displaystyle t^{\pm }={\frac {2\pi R}{c/n\mp R\omega /n^{2}}}}$.

Різниця часу проходження двох променів по кільцю буде:

${\displaystyle \Delta t=t^{+}-t^{-}={\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}(1-R^{2}\omega ^{2}/c^{2}n^{2})}}}$.

Враховуючи очевидне співвідношення ${\displaystyle R^{2}\omega ^{2}\ll c^{2}n^{2}}$, цей вираз можна переписати:

${\displaystyle \Delta t\approx {\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}}}}$,

звідки видно, що результат не залежить від показника заломлення для конкретного середовища (медіа).

Першим, хто спробував пояснити ефект Саньяка в рамках релятивістського підходу був Зільберштейн[11]. Оскільки даний ефект не є продуктом штучного вибору системи відліку, тому він також не залежить від її вибору. Зільберштейн використав метрику Мінковського і зробив перетворення координат ${\displaystyle x=r\cos \left(\theta +\omega t\right)}$ та ${\displaystyle y=r\sin \left(\theta +\omega t\right)}$, тоді лінійний елемент метрики буде:

${\displaystyle ds^{2}=(c^{2}-r^{2}\omega ^{2})\,dt^{2}-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-dz^{2}-2r^{2}\omega \,dt\,d\theta }$

де

• ${\displaystyle t}$ — істинний час для спостерігача,
• ${\displaystyle r}$ — відстань від центру,
• ${\displaystyle \theta }$ — кутова відстань вздовж кільця в напрямі спостерігача,
• ${\displaystyle z}$ — напрям, перпендикулярний до площі кільця, та
• ${\displaystyle \omega }$ — швидкість обертання кільця та спостерігача.

В рамках цієї метрики швидкість світла тангенціальна до кільця ${\displaystyle c\pm r\omega }$ і залежить від напряму розповсюдження світла вздовж кільця. Слід відзначити, що тільки у випадку ${\displaystyle \omega =0}$ ми маємо «інерційну систему». Проте у випадку ${\displaystyle \omega \neq 0}$ ми маємо «неінерційну систему». Ось чому в точці спостерігача (при ${\displaystyle r=0}$) ми маємо відмінні значення від ${\displaystyle c}$ швидкості світла, які змінюються в залежності від напряму їх приходу.

Проте цей підхід не сподобався Зільберштейну і в подальшому він звернувся до загальної теорії відносності. Більш детально ця проблема висвітлена в роботі Маликіна[9]. Безумовно Зільберштейн знав думку Ейнштейна з цього приводу[12]:

«Кінематична еквівалентність двох систем координат в дійсності не обмежується випадком, коли дві системи рухаються рівномірно та прямолінійно. Ця еквівалентність з кінематичної точки зору також добре виконується у випадку, коли одна система рівномірно обертається відносно іншої».

Традиційно вважається, що Макс фон Лауе продовжив розгляд роботи Майкельсона[13] на основі теорії відносності… Чи вірно це? Насправді Макс фон Лауе в кінці своєї статі написав:

«Таким чином, ми бачимо, що всі теорії, котрі всерйоз можна взяти до уваги в галузі оптики рухомих середовищ, наприклад, концепція Герца, ніколи не належали до них, оскільки інтерференційний дослід Фізо відповідає даним критеріям (а теорія Герца – ні!) . Проте вибір між цими теоріями знаходиться за межами даного експерименту. Але, попри це, даний експеримент слід провести, оскільки оптика рухомих середовищ ще не випробовувалась точними експериментами, і тому розширення експериментальних основ (фізики) є бажаним.»

Ніяких посилань на спеціальну теорію відносності в формі Лоренца, чи Ейнштейна в статті Лауе немає. Проте є посилання на Кохна[14], спеціаліста по електродинаміці, яке варте уваги.

Питання, яке випливає із статті Майкельсона, має відповідь в рамках електродинамічного підходу Кохна[14]. Коротко, його положення є наступні: якщо уявити площину експеримента в довільній точці на Землі тангенціонально до неї, то часове зміщення dt, необхідне світлу для проходження відстані ds (вимірюване на землі) може бути подане у формі ${\displaystyle {\tfrac {{\mathfrak {q}}_{s}ds}{c^{2}}}}$, якщо ds рухається зі швидкістю ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$. Тому розповсюдження світла для позитивного напряму обертання буде ${\displaystyle {\tfrac {1}{c^{2}}}\int \limits _{0}{\mathfrak {q}}_{s}ds}$ довше ніж у протилежному випадку, а тому буде менше для негативного обертання променя в даній точці. Якщо ми використаємо для лінійного інтегралу теорему Стокса, тоді можна знайти

${\displaystyle \Delta \tau =r_{+}-r_{-}={\frac {2}{c^{2}}}\int \limits _{0}{\mathfrak {q}}_{s}ds={\frac {2}{c^{2}}}F\ {\mathsf {rot}}_{n}{\mathfrak {q}}}$

Проте, якщо Ω є кутова швидкість обертання Землі, то

${\displaystyle \left|\mathrm {rot} \ {\mathfrak {q}}\right|=2\Omega ,}$

де φ — широта проведення експерименту,

${\displaystyle {\mathsf {rot}}_{n}{\mathfrak {q}}=2\Omega \ \sin \varphi }$

і відповідно до формули (6), буде:

${\displaystyle \Delta \tau ={\frac {4}{c^{2}}}\Omega F\ \sin \varphi .}$

Може здатися сумнівним, звичайно, чи допустимо використання лінійного інтегралу по об'єму n-gon; оскільки промені, по відношенню до площі, що обертається, не можуть розповсюджуватися по прямих лініях. Проте детальний розгляд даних обставин, дасть тільки корекцію більш високого порядку відносно Δτ.

Таким чиним, із того факту, що Макс фон Лауе заперечував підхід Генріха Герца, зовсім не випливає, що він перший описав ефект Саньяка з позицій спеціальної теорії відносності! Більше того, Макс фон Лауе по замовчуванню не може бути т.з. «передвісником» ефекту Саньяка, оскільки він тривіально модернізував «теорію стаціонарного ефіру Майкельсона»! Іншими словами, саме Альберт Майкельсон і є справжнім автором т.з. «ефекту Саньяка»…

Квантова природа ефекта Саньяка базується на підході Майкельсона (1904), котрий вперше почав розглядати циркуляцію вектора по замкнутому контуру. Звичайно, Майкельсон не знав квантової механіки, котрої на той час ще не було, проте він був прихильником «медіафізики Гельмгольца» і тому цілком розумів природу «вортексів», котрі в потенції містили в собі майбутню квантову презентацію. Відомо, що квантування циркуляції швидкості було відкрите Фейнманом тільки всередині 50-х років 20-го століття[15], тому квантові підходи до розуміння ефекту Саньяка з'явились тільки на кінець 20-го століття. В рамках стандартної фізики ці підходи називаються «методи аналогій», і розцінюються на відміну «ефіроносних підходів» більш м'яко, як «попутчики» релятивістського підходу[9]. Одні дослідники розглядають, як варіант фази Беррі[16], а інші — як аналог ефекта Ааронова Бома[17][18].

В загальному випадку циркуляція швидкості може бути записана у вигляді:

${\displaystyle \Phi _{v}=\oint _{L}\mathbf {v} ,d\mathbf {l} =\iint _{S}rot\mathbf {v} ,d\mathbf {s} =2\iint _{S}\omega ,d\mathbf {s} }$.

Квант циркуляції швидкості записується у формі Фейнмана:

${\displaystyle \Phi _{v}(n)=2\iint _{S_{q}}\omega ,d\mathbf {s} ={\frac {h}{m_{v}}}n=\Phi _{n0}n}$,

де ${\displaystyle n=integer}$, ${\displaystyle \Phi _{n0}=h/m_{v}}$ — квант циркуляції швидкості, або вортекс/вихор, ${\displaystyle h}$ — стала Планка, а ${\displaystyle m_{v}}$ — «вортексна маса». Відносний фазовий зсув можна визначити як відношення циркуляцій швидкості:

${\displaystyle \xi _{v}={\frac {\Phi _{v}}{\Phi _{v0}}}={\frac {2m_{v}}{h}}\iint _{S}\omega ,d\mathbf {s} ={\frac {2m_{v}}{h}}(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {s} )}$.

У випадку, коли вортексна маса рівна двом масам фотона світла

${\displaystyle m_{v}=2m_{\lambda }=2{\frac {h}{c\lambda }}}$

можна отримати загальний вираз для відносного зсуву фази у вигляді:

${\displaystyle \xi _{v}={\frac {4}{c\lambda }}(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {s} )={\frac {c}{\lambda }}\Delta t}$,

де

${\displaystyle \Delta t=4(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {s} )/c^{2}}$

є різниця часу для квантового ефекту Саньяка.

В 1858 році Гельмгольц[19] не тільки визначив кінематично вортексний/вихровий рух, проте він також в основному довів до кінця і свою динамічну теорію. Основний зміст цієї теорії полягає в законі збереження: вихори не можуть виникати а також не можуть зникати. Або в більш загальній формі — інтенсивність вихору постійна в часі. Томсон спростив підхід Гельмгольца, використавши математичне поняття циркуляції (тоді ще не було визначення векторів!). таким чином, в рамках підходу Гельмгольца — Томсона циркуляція швидкості по замкнутому контуру є величина[20]:

${\displaystyle \Phi _{v}=\oint _{L}\mathbf {v} ,d\mathbf {l} }$.

В сучасних термінах теорема про збереження вортекса Гельмгольца може бути сформульована як[19]:

Циркуляція вздовж довільного замкнутого контуру, який складається з частинок рідини, зберігається незмінною протягом всього часу свого існування

${\displaystyle {\frac {d\Phi _{v}}{dt}}=0}$, ${\displaystyle \Phi _{v}=const.}$

Один із наслідків теореми полягає в тому, що для кільцевого вортексу, який наближається до плоскої стінки, його розміри збільшуються (див. мал.32[19]). В граничному випадку, коли стінка має нескінченні розміри, тоді вортекс може «зникнути» (буде поглинутий стінкою). Дане твердження не суперечить теоремі Гельмгольца, оскільки одностороннє обмеження простору з довільного боку неможливе в природі. Екрани або стінки завжди мають обмежені розміри і тому наближення вихору до них тільки збільшує їх розміри.