Закон Кірхгофа для теплового випромінювання

Даний закон був встановлений німецьким фізиком Кірхгофом в 1859 році. Перш ніж закон Кірхгофа був визнаний, було експериментально встановлено, що тіло, що добре поглинає світло, добре і випромінює його і навпаки, а також, що тіло, яке добре його відбиває — погано поглинає світло.

Розуміння Кірхгофа полягає в визнанні універсальності й унікальності функції, яка описує випромінювальну здатність чорного тіла. Але він не знав точної форми і характеру даної функції. Спроби описати його в класичному сенсі були зроблені Лордом Релеєм і сером Джеймсом Джинсом в 1900 - 1905 роках, у результаті чого в Закон Релея-Джинса. Внаслідок цього закону виник парадокс під назвою ультрафіолетова катастрофа. Правильна форма цього закону була знайдена Максом Планком в 1900 році, який вивів закон Планка: спектр світла, який отримується внаслідок нагрівання, головним чином залежить від температури тіла, а не від матеріалу. Макс Планк вивів формулу, яка пояснює взаємозв'язок між максимальними довжинами випромінюваних хвиль й температурою, до якої нагріте тіло:

${\displaystyle \lambda _{m}=2896/T,}$

де ${\displaystyle \lambda _{m}}$ - довжина хвилі, ${\displaystyle T}$ - температура.

Тепло є інфрачервоним світлом[1].

Якщо знехтувати вимушеним випусканням, тобто за ${\displaystyle hv}$ набагато більшим за ${\displaystyle kT,}$ закон кірхгофа має вигляд

${\displaystyle {\frac {W_{v}^{\text{тепл.вип.}}}{W_{v}^{\text{погл.}}/u_{v}}}={\frac {8\pi hv^{3}}{c^{3}}}=\exp(-{\frac {hv}{kT}}),}$

де ${\displaystyle u_{v}}$ - щільність падаючої радіації[2].

Нехай є чорне тіло, яке містить електромагнітне випромінювання з певною кількістю енергії, яке перебуває у термодинамічній рівновазі. Цей "фотонний газ" буде мати Планківский розподіл енергії.[3]

Припускаємо, що існує друга система, яка є твердою, непрозорою, має порожнину зі стінками, та не чудово відбиває хвилі будь-якої довжини, і перебуває у зв'язку за допомогою оптичного фільтра з чорним тілом при тій же температурі. Радіація може передаватися від однієї системи до іншої. Наприклад, припустимо, що в другій системі, щільність фотонів у вузькому частотному діапазоні довжини хвилі ${\displaystyle \lambda }$ є вищою, ніж у першої системи. Якщо оптичний фільтр пропускає тільки цей діапазон хвиль, то буде передача фотонів і їх енергії, з другої системи в першу. Це суперечить другому закону термодинаміки, який вимагає, що не може бути ніякої чистої передачі тепла між двома тілами при однаковій температурі.

Таким чином, у другій системі для кожної частоти, стіни повинні поглинати і випромінювати енергію, щоб підтримувати розподіл тепла у чорному тілі.[4] Для умови теплової рівноваги, поглинальна здатність для певної довжини хвилі ${\displaystyle \alpha _{\lambda }}$ є відношенням між поглинутою стіною енергії та енергії, що падає на стіну . Таким чином, поглинута енергії визначається як ${\displaystyle \alpha _{\lambda }E_{b\lambda }(\lambda ,T)}$, де ${\displaystyle E_{b\lambda }(\lambda ,T)}$ — інтенсивність випромінювання при довжині хвилі ${\displaystyle \lambda }$ і температури ${\displaystyle T}$. Незалежно від стану теплової рівноваги, випромінювальна здатність стіни визначається як відношення випромінюваної енергії до кількості енергії, яка би виникала, якби стіна була би ідеально чорним тілом. Тому, випромінювану енергію можна визначити як ${\displaystyle \epsilon _{\lambda }E_{b\lambda }(\lambda ,T)}$ де ${\displaystyle \epsilon _{\lambda }}$ — випромінювання при довжині хвилі ${\displaystyle \lambda }$. Для підтримки теплової рівноваги, ці дві величини повинні бути рівні або ж розподіл енергії фотонів в порожнині має відхилятися від чорного тіла. Це дає нам закон Кірхгофа:

${\displaystyle \alpha _{\lambda }=\epsilon _{\lambda }}$

За допомогою аналогічного, але більш складного аргументу, можна показати, що випромінювання чорного тіла є рівним в усіх напрямках, а також, що випромінювальні та поглинальні здатності, якщо вони залежать від напрямку, також мають бути рівними в цьому напрямку.

Середні і загальні дані про поглинальну та випромінювальну здатність часто даються для матеріалів, значення яких відрізняються один від одного. Наприклад, біла фарба котирується як така, що має поглинальну здатність в значенні 0.16, а випромінювальну —  0.93.[5] Це тому, що поглинальна здатність усереднюється зі зважуванням сонячного спектру, в той час як коефіцієнт випромінювання зважується для випромінювання самої фарби при нормальній температурі навколишнього середовища. коефіцієнт випромінювання обчислюється як:

${\displaystyle \alpha _{\mathrm {sun} }=\displaystyle {\frac {\int _{0}^{\infty }\alpha _{\lambda }I_{\lambda \mathrm {sun} }(\lambda )\,d\lambda }{\int _{0}^{\infty }I_{\lambda \mathrm {sun} }(\lambda )\,d\lambda }}}$

у той час як середній коефіцієнт випромінювання визначається за формулою:

${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {paint} }={\frac {\int _{0}^{\infty }\epsilon _{\lambda }(\lambda ,T)E_{b\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda }{\int _{0}^{\infty }E_{b\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda }}}$

Тут ${\displaystyle I_{\lambda \mathrm {sun} }}$  — спектр випромінювання сонця, і ${\displaystyle \epsilon _{\lambda }E_{b\lambda }(\lambda ,T)}$  — спектр випромінювання фарби. Хоча, за законом Кірхгофа, ${\displaystyle \epsilon _{\lambda }=\alpha _{\lambda }}$ у наведених вище рівняннях вище середні  ${\displaystyle \alpha _{\mathrm {sun} }}$ і ${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {paint} }}$ як правило, не рівні один одному. Біла фарба буде служити дуже хорошим ізолятором від сонячної радіації, тому що вона дуже добре відбиває сонячне випромінювання, її температура буде приблизно кімнатної температури, і вона буде випромінювати незалежно від поглинання в інфрачервоному діапазоні, де коефіцієнт випромінювання є високим.