Закон випромінювання Планка

Випромінювання абсолютно чорного тіла.

У наслідок лінійності рівнянь електромагнітного поля будь-який їх розв'язок може бути надано у вигляді суперпозиції монохроматичних хвиль, кожна з певною частотою ${\displaystyle \omega }$. Енергія поля може бути представлена як сума енергій відповідних польових осциляторів. Як відомо із квантової механіки, енергія осцилятора приймає дискретні значення згідно з наступної формулою:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (n+1/2)}$

Оскільки розглядається рівноважне випромінювання, то використовуючи канонічний розподіл Ґіббса, можна визначити ймовірність стану осцилятора з заданою енергією:

${\displaystyle W_{n}=1/Ze^{-E_{n}/kT}}$

Статистична сума ${\displaystyle Z}$дорівнює

${\displaystyle Z=\sum e^{-\hbar \omega (n+1/2)/kT}=e^{-1/2(\hbar \omega /kT)}\sum (e^{-\hbar \omega /kT})^{n}={\frac {e^{-1/2(\hbar \omega /kT)}}{1-e^{-\hbar \omega /kT}}}}$

Вільна енергія дорівнює

${\displaystyle \Psi =-kT\ln Z={\frac {\hbar \omega }{2}}+kT\ln(1-e^{-\hbar \omega /kT})}$

Для середньої (математичне очікування) енергії скористаємося рівнянням Ґіббса—Гельмгольца

${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\sum W_{n}E_{n}=\Psi -kT{\frac {\partial \Psi }{\partial (kT)}}=(kT)^{2}{\frac {\partial \ln Z}{\partial (kT)}}=(kT)^{2}\left({\frac {\hbar \omega }{2(kT)^{2}}}+{\frac {e^{-\hbar \omega /kT}\hbar \omega /(kT)^{2}}{1-e^{-\hbar \omega /kT}}}\right)}$

Таким чином, середня енергія, що припадає на польовий осцилятор, дорівнює

${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}={\frac {\hbar \omega }{2}}+{\frac {\hbar \omega }{\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}},\qquad \qquad }$

(1)

де ${\displaystyle \hbar }$ — стала Планка, ${\displaystyle k}$ — стала Больцмана.

Кількість же стоячих хвиль в одиниці об'єму у тривимірному просторі в інтервалі від ${\displaystyle (\omega ,\omega +d\omega )}$ дорівнює[1][2]:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}\qquad \qquad }$

(2)

Отже, для спектральної щільності потужності електромагнітного випромінювання отримуємо:

${\displaystyle u(\omega ,T)={\overline {\varepsilon }}{\frac {\mathrm {d} n_{\omega }}{\mathrm {d} \omega }}={\frac {\hbar {\omega }^{3}}{2\pi ^{2}c^{3}}}+{\frac {\hbar {\omega }^{3}}{\pi ^{2}c^{3}(\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1)}},\qquad \qquad }$

Перший доданок у цій формулі пов'язаний з енергією нульових коливань, другий являє собою формулу Планка.

Формулу Планка також можна записати через довжину хвилі:

${\displaystyle u_{p}(\lambda ,T)={\frac {16\pi ^{2}\hbar c}{\lambda ^{5}(\mathrm {exp} (2\pi \hbar c/\lambda kT)-1)}},\qquad \qquad }$

(5)

Формула Планка точно узгоджується з експериментальними даними у всьому інтервалі частот від 0 до ${\displaystyle \infty }$. При малих частотах, коли ${\displaystyle \hbar \omega /kT\ll 1}$ можна розкласти експоненту по ${\displaystyle \hbar \omega /kT}$. У результаті отримаємо, що ${\displaystyle \mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1\approx 1+\hbar \omega /kT-1=\hbar \omega /kT}$, тоді (1) і (2) переходять в формулу Релея—Джинса.

${\displaystyle u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$ і

${\displaystyle f(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}}$

Для енергетичної світності слід записати інтеграл:

${\displaystyle R=\int _{0}^{\infty }f(\omega ,T)\mathrm {d} \omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{2}c^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}}}$

Введемо змінну ${\displaystyle x=\hbar \omega /kT}$, тоді ${\displaystyle \omega =(kT/\hbar )x}$, ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =(kT/\hbar )\mathrm {d} x}$, отримаємо

${\displaystyle R={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}\cdot \left({\frac {kT}{\hbar }}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}\mathrm {d} \mathrm {x} }{\mathrm {e} ^{x}-1}}.}$

Отриманий інтеграл зводиться до дзета-функції Рімана, і має точне значення ${\displaystyle ~\pi ^{4}/15}$. Підставивши його, отримаємо відомий закон Стефана — Больцмана:

${\displaystyle R={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60c^{2}\hbar ^{3}}}T^{4}=\sigma T^{4}}$

Підстановка чисельних значень констант дає значення для ${\displaystyle \sigma =5,66961\cdot 10^{-8}}$ Вт/(м²${\displaystyle \cdot }$ K⁴), що добре узгоджується з експериментом.

Для переходу до закону Віна, необхідно продиференціювати вираз (5) по ${\displaystyle \lambda }$ та прирівняти похідну нулю (пошук екстремуму):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u_{p}(\lambda ,T)}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {4\pi ^{2}\hbar c^{2}\left\{{\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-5\left[\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-1\right]\right\}}{\lambda ^{6}\left[\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-1\right]^{2}}}=0}$.

Значення ${\displaystyle \lambda _{m}}$, при якому функція досягає максимуму, перетворює на нуль вираз, що стоїть у фігурних дужках. Означимо ${\displaystyle {\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=x}$, та отримаємо рівняння:

${\displaystyle ~xe^{x}-5(e^{x}-1)=0}$.

Розв'язок такого рівняння дає x=4,96511.Отже, ${\displaystyle {\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=4,965}$, звідси виходить:

${\displaystyle T\lambda _{m}={\frac {2\pi \hbar c}{4.965k}}=b}$.

Чисельна підстановка констант дає значення для b=0,0028999 К·м, що збігається з експериментальним, а також зручну наближену формулу ${\displaystyle \lambda _{\max }T\approx 3000\quad }$ мкм·К. Так, сонячна поверхня має максимум інтенсивності у зеленій області (0,5 мкм), що відповідає температурі близько 6000 К.

• Абсолютно чорне тіло

• Планк М. Об одном улучшении закона излучения Вина. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А. П. Виноградова, стр.249
• Планк М. К теории распределения энергии излучения нормального спектра. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А. П. Виноградова, стр. 251

• Симулятор випромінювання абсолютно чорного тіла