Закон Пуазейля

Рівняння закону Пуазейля можна отримати шляхом інтегрування по площі перерізу записаного вище рівняння розподілу швидкості в залежності від радіуса для круглоциліндричної труби:

${\displaystyle Q=\int \limits _{S}v\left(r\right)dS=2\pi \int \limits _{0}^{R}v\left(r\right)rdr={\frac {\pi D^{4}(p_{1}-p_{2})}{128\eta L}}={\frac {\pi R^{4}(p_{1}-p_{2})}{8\eta L}},}$

де

• ${\displaystyle Q}$ — витрата рідини у трубопроводі;
• ${\displaystyle D}$ — діаметр трубопроводу.

Такий же результат можна отримати з феноменологічної формули Дарсі-Вейсбаха, враховуючи вираз для коефіцієнта гідравлічного тертя ${\displaystyle \lambda }$ записаного через число Рейнольдса Re

${\displaystyle \lambda ={64 \over {\it {\mathrm {Re} }}}}$

де число Рейнольдса ${\displaystyle \mathrm {Re} ={2\rho VR \over \eta }.}$

Рівняння Пуазейля можна отримати безпосередньо з рівнянь Нав'є-Стокса в циліндричних координатах, зробивши наступний набір припущень:

1. Потік є стаціонарним (${\displaystyle \partial (...)/\partial t=0}$).
2. Радіальна і вихрова компоненти швидкості рівні нулю (${\displaystyle u_{r}=u_{\theta }=0}$).
3. Потік є осесиметричним (${\displaystyle \partial (...)/\partial \theta =0}$) і повністю стабілізованим по довжині (${\displaystyle \partial u_{z}/\partial z=0}$).

Тоді друге (рівняння кута повороту) з трьох рівнянь Нав'є-Стокса у циліндричних координатах і рівняння неперервності виконуються автоматично. Перше рівняння (рівняння радіуса) спрощується до ${\displaystyle \partial p/\partial r=0}$, оскільки, тиск ${\displaystyle p}$ є лише функцією осьової координати ${\displaystyle z}$. Третє рівняння зводиться до вигляду:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)={\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}$ де ${\displaystyle \mu }$ динамічна в'язкість рідини.

Розв'язок:

${\displaystyle u_{z}={\frac {1}{4\mu }}{\frac {\partial p}{\partial z}}r^{2}+c_{1}\ln r+c_{2}}$

З граничних умов при ${\displaystyle r=0}$, ${\displaystyle c_{1}=0}$. За відсутності ковзання на стінці труби ${\displaystyle u_{z}=0}$ при ${\displaystyle r=R}$ (радіус труби), отримаємо

${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{4\mu }}{\frac {\partial p}{\partial z}}R^{2}.}$

Таким чином, отримуємо параболічний закон розподілу швидкості:

${\displaystyle u_{z}=-{\frac {1}{4\mu }}{\frac {\partial p}{\partial z}}(R^{2}-r^{2}).}$

Максимальна швидкість знаходиться на осі труби (${\displaystyle r=0}$):

${\displaystyle {u_{z}}_{max}={\frac {R^{2}}{4\mu }}\left(-{\frac {\partial p}{\partial z}}\right).}$

Середня швидкість може бути визначена шляхом інтегрування рівняння по площі перерізу:

${\displaystyle {V_{z}}_{\mathrm {cep} }={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}u_{z}\cdot 2\pi rdr=0.5{u_{z}}_{\mathrm {max} }.}$

Знаходимо ${\displaystyle \Delta p}$ спад тиску на круглій трубі довжиною ${\displaystyle L}$, через середню швидкість потоку в трубі ${\displaystyle {V_{z}}_{\mathrm {cep} }}$ та інші параметри. Допустивши, що тиск зменшується лінійно по всій довжині труби, тобто ${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial z}}={\frac {\Delta p}{L}}}$(constant). Підставивши це і вираз для ${\displaystyle {u_{z}}_{\mathrm {max} }}$ у рівняння для визначення ${\displaystyle {V_{z}}_{\mathrm {cep} }}$ та врахувавши, що ${\displaystyle D=2R}$, отримаємо

${\displaystyle {V_{z}}_{cep}={\frac {D^{2}}{32\mu }}{\frac {\Delta P}{L}}.}$

Шляхом незначних перетворень з цього рівняння отрмується рівняння закону Пуазейля.