Зведена маса

Використовуючи другий закон Ньютона, сила з якою тіло 2 діє на тіло 1 є

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.\!\,}$

Сила з якою тіло 1 діє на тіло 2 є

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}$

Згідно з третім законом Ньютона, ці сили рівні за модулем і протилежні за напрямком:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.\!\,}$

Отже,

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.\!\,}$

Відносне прискорення a_rel між двома тілами задане як

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{\rm {red}}}}.}$

Отже ми можемо дійти висновку, що тіло 1 рухається щодо позиції тіла 2 як тіло маса якого дорівнює зведеній масі.

Інакше, опис Лагранжа задачі двох тіл дає Лагранжіан

${\displaystyle L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,}$

де r це вектор позиції маси m_i (частинки ${\displaystyle i}$). Потенціальна енергія V це функція яка залежить лише від відстані між двома частинками. Якщо ми визначимо

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

і покладемо початок координат в одну точку з центром мас, тобто

${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}$,

тоді

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

Тепер, підставляючи, отримуємо новий Лагранжіан

${\displaystyle L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$

де

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

є зведеною масою. Отже, ми звели задачу двох тіл до задачі з одним тілом.