Задача двох тіл

Задача про відносний рух, тобто рух матеріальної точки в центральному потенціалі, спрощується, якщо застосувати закони збереження енергії та моменту імпульсу:

${\displaystyle E={\frac {\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{2}}+U(r)={\text{const}}}$,

${\displaystyle \mathbf {L} =\mu [\mathbf {r} {\dot {\mathbf {r} }}]={\text{const}}}$.

Вектор моменту імпульсу перпендикулярний як до радіус-вектора матеріальної точки, так і до її вектора її швидкості. Тому рух матеріальної точки завжди залишається в площині, перпендикулярній до ${\displaystyle \mathbf {L} }$.

В полярній системі координат із віссю z вздовж ${\displaystyle \mathbf {L} }$ рівняння руху записуються:

${\displaystyle {\frac {\mu ({\dot {\rho }}^{2}+\rho ^{2}{\dot {\varphi }}^{2})}{2}}+U(\rho )=E}$,

${\displaystyle \mu \rho ^{2}{\dot {\varphi }}=L}$.

Підставляючи ${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$ із другого рівняння в перше, можна знайти залежність ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$ від ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle {\dot {\rho }}^{2}={\frac {2E}{\mu }}-{\frac {2U(\rho )}{\mu }}-{\frac {l^{2}}{\rho ^{2}}}}$,

де ${\displaystyle l=L/\mu }$.

Кутова швидкість ${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$ завжди одного знаку, тобто вектор, що сполучає матеріальні точки, повертається навколо центра мас або тільки за годинниковою стрілкою, або тільки проти годинникової стрілки.

Рівняння

${\displaystyle G(\rho )={\frac {2E}{\mu }}-{\frac {2U(\rho )}{\mu }}-{\frac {l^{2}}{\rho ^{2}}}=0}$,

визначає точки повороту, тобто такі значення віддалі між матеріальними точками, при яких вони припиняють наближатися чи віддалятися одна від іншої. Залежно від поведінки функції ${\displaystyle G(\rho )}$ розрізняють три випадки.

• Фінітний рух виникає тоді, коли ${\displaystyle G(\rho )>0}$ в певному інтервалі ${\displaystyle \rho _{1}<\rho <\rho _{2}}$, де ${\displaystyle \rho _{1}}$ — віддаль максимального зближення, ${\displaystyle \rho _{2}}$ — віддаль максимального віддалення двох матеріальних точок, відповідно. Фінітний рух відповідає нескінченному обертанню матеріальних точок навколо спільного центра мас, на зразок обертання Землі навколо Сонця.
• Інфінітний рух виникає тоді, коли ${\displaystyle G(\rho )>0}$ при ${\displaystyle \rho >\rho _{1}}$, де ${\displaystyle \rho _{1}}$ віддаль максимального збиження матеріальних точок. Інфінітний рух відповідає розсіюванню матеріальних точок одна на одній. Він виникає тоді, коли початкова кінетична енергія відносного руху двох тіл велика, а тому тіла зближаються і розлітаються знову.
• Падіння на центр відбувається тоді, коли ${\displaystyle G(\rho )=0}$ тільки в точці ${\displaystyle \rho =0}$.

Розв'язок рівняння руху задається неявною функцією віддалі від часу:

${\displaystyle t-t_{0}=\pm \int \limits _{\rho _{0}}^{\rho }{\frac {d\rho ^{\prime }}{\sqrt {{\frac {2E}{\mu }}-{\frac {2U(\rho ^{\prime })}{\mu }}-{\frac {l^{2}}{\rho ^{\prime 2}}}}}}}$.

Траєкторія руху:

${\displaystyle \varphi (\rho )-\varphi _{0}=l\mu \int \limits _{\rho _{0}}^{\rho }{\frac {d\rho ^{\prime }}{\rho ^{\prime 2}{\sqrt {\mu (E-U(\rho ^{\prime })-\mu l^{2}/2\rho ^{\prime 2}}}}}}$.

Тут ${\displaystyle \rho _{0}}$ та ${\displaystyle \varphi _{0}}$ задають віддаль між матеріальними точками в початковий момент часу та початковий кут. При цьому енергія E та момент імпульсу L також визначаються початковими умовами — положенням точок і початковою кутовою швидкістю.

Найважливішим для застосувань є потенціал

${\displaystyle U(r)=-{\frac {\alpha }{r}}}$,

де ${\displaystyle \alpha }$ — певний параметр. При ${\displaystyle \alpha >0}$ потенціал описує притягання, при ${\displaystyle \alpha <0}$ — відштовхування

Таким потенціалом записується взаємодія масивних тіл за законом всесвітнього тяжіння, а також взаємодія електричних зарядів. У випадку гравітаційної взаємодії матеріальні точки завжди притягаються, у випадку електричної — притягаються або відштовхуються в залежності від знаку зарядів.

Вводячи безрозмірні змінні ${\displaystyle {\tilde {\rho }}=\rho |\alpha |/l^{2}\mu }$, ${\displaystyle \tau =\alpha ^{2}t/l^{3}\mu ^{2}}$ рівняння руху переписуються у вигляді:

${\displaystyle {\tilde {\rho }}^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}=1}$,

${\displaystyle \left({\frac {d{\tilde {\rho }}}{d\tau }}\right)^{2}+{\tilde {\rho }}^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}+{\frac {2}{\tilde {\rho }}}=e^{2}-1}$,

де

${\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2l^{2}\mu E}{\alpha ^{2}}}}$.

Інтегрування рівняння траєкторії дає два можливих розв'язки:

${\displaystyle {\tilde {\rho }}={\frac {1}{1+e\cos \;(\varphi -\varphi _{0})}}}$

та

${\displaystyle {\tilde {\rho }}={\frac {1}{-1+e\cos \;(\varphi -\varphi _{0})}}}$

У випадку притягання траєкторія задається першою із двох формул і, її вигляд залежить від параметра e.

• При ${\displaystyle e>1}$, що відповідає додатньому значенню енергії ${\displaystyle E>0}$, траєкторія є гіперболою. У цьому випадку матеріальні точки злітаються і розлітаються — відбувається розсіювання.
• При ${\displaystyle e<1}$, що відповідає від'ємному значенню енергії ${\displaystyle E<0}$, траєкторія є еліпсом. Параметр ${\displaystyle e}$ — відіграє роль ексцентриситету. Залежність ${\displaystyle \rho }$ від ${\displaystyle \varphi }$ періодична.
• При ${\displaystyle e=1}$, що відповідає нульовому значенню енергії ${\displaystyle E=0}$, траєкторія є параболою.

Експериментально відкриті Кеплером закони руху планет, можна отримати із загального розв'язку у випадку, коли маса однієї з матеріальних точок набагато перевищує масу іншої, наприклад ${\displaystyle m_{2}\gg m_{1}}$, , як у випадку планет і Сонця. Розглядається випадок гравітаційної взаємодії, коли ${\displaystyle \alpha =Gm_{1}m_{2}}$, де ${\displaystyle G}$ — гравітаційна стала.

• При ${\displaystyle e<1}$ траєкторією є еліпсом з великою піввіссю ${\displaystyle a={\frac {|\alpha |}{2|E|}}}$ та малою піввіссю ${\displaystyle b=l{\sqrt {\frac {\mu }{2|E|}}}}$. Еліпсом також є траєкторія кожної із матеріальних точок. Масивніша точка описує менший еліпс, легша — більший. Якщо маса одного з тіл набагато більша від маси іншого, то еліпс масивного тіла зовсім маленький і можна приблизно вважати, що масивне тіло перебуває в фокусі еліпса, який описує легке тіло, що відповідає першому закону Кеплера.
• Секторна швидкість тіла з масою ${\displaystyle m_{1}}$ дорівнює:

  ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho _{1}^{2}{\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{2}^{2}}{M^{2}}}l={\text{const}}}$.

Звідси другий закон Кеплера — за рівні проміжки часу радіус-вектор планети замітає однакові площі.

• Період обертання T відповідає зміні кута ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle 2\pi }$. Інтегруючи рівняння руху, можна отримати

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}\rho ^{2}d\varphi ={\frac {1}{2}}lT}$.

З іншого боку, ліва частина цієї рівності є площею еліпса і дорівнює ${\displaystyle \pi ab\,}$.

Нескладні перетворення дають співвідношення

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}=G{\frac {m_{1}+m_{2}}{4\pi ^{2}}}}$.

Якщо ${\displaystyle m_{2}}$ — маса Сонця, то масою планети ${\displaystyle m_{1}}$ в сумі можна знехтувати. В такому випадку отримуємо третій закон Кеплера : відношення куба півосі еліпса до квадрата періоду обертання однакове для всіх планет сонячної системи.

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM_{\bigodot }}{4\pi ^{2}}}}$

У випадку відштовхування між матеріальними точками, як наприклад, при взаємодії однойменних електричних зарядів, енергія завжди додатня, а тому траєкторії руху точок є гіперболами, що описуються нижньою з двох формул для ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$

Інтегрування рівнянь руху дозволяє знайти не тільки траєкторію матеріальних точок, а й залежність віддалі та кута від часу. Найпростіше ця залежність виглядає в параметричному вигляді.

• Випадок еліптичних орбіт, ${\displaystyle E<0}$

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {\mu a^{3}}{|\alpha |}}}(\xi -e\sin \,\xi )}$

${\displaystyle \rho =a(1-e\cos \,\xi )}$

Тут відлік часу починається з моменту, коли тіла знаходилися в перигелії.

• Випадок гіперболічних орбіт, ${\displaystyle E<0}$.

${\displaystyle \rho =ae({\text{ch}}\,\xi -1)}$

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {\mu a^{3}}{|\alpha |}}}(e{\text{sh}}\,\xi -\xi )}$

Параметр ${\displaystyle -\infty <\xi <\infty }$.