Зовнівписане коло

Зовнівписане коло трикутника — коло, яке дотикається до сторони трикутника та продовження двох інших його сторін.

Трикутник (чорний) з вписаним колом (синім), зовнівписаними колами (помаранчеві), бісектрисами внутрішніх (червоні) та зовнішніх (зелені) кутів.

Будь-який трикутник має три зовнівписані кола з центрами $I_{A}$ , $I_{B}$ , $I_{C}$ , які дотикаються до сторін $a$ , $b$ , $c$ відповідно. Радіуси цих кіл позначають $r_{a}$ , $r_{b}$ , $r_{c}$ відповідно.

Властивості

Ілюстрація доведення властивостей

Центр $I_{A}$ зовнівписаного кола є точкою перетину бісектриси кута $\angle A$ та двох бісектрис зовнішніх кутів з вершинами $B$ і $C$ трикутника $ABC$ .
Нехай точки $T$ та $F$ — точки дотику зовнівписаного кола з центром $I_{A}$ до продовжень сторін $AB$ та $AC$ трикутника $ABC$ . Тоді $AT=AF=p={\frac {a+b+c}{2}}$ .

Доведення.

За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки,

AT=AF

. За цією ж властивістю маємо, що

BK=BF

та

CT=CK

, де

K

— точка дотику цього кола до сторони

BC

. Тоді

AT+AF=AC+CT+AB+BF=AC+CK+AB+BK=AC+AB+BC=a+b+c=P_{ABC}

. Оскільки

AT=AF

, то кожен з цих відрізків рівний половині їх суми, тобто

AT=AF=p={\frac {a+b+c}{2}}

.

З попередньої властивості легко випливає, що $BK=p-c$ та $CK=p-b$ .
$r_{a}={\frac {S}{p-a}}$ , $r_{b}={\frac {S}{p-b}}$ , $r_{c}={\frac {S}{p-c}}$ , де $S$ — площа трикутника $ABC$ , а $p={\frac {a+b+c}{2}}$ .

Доведення.Нехай

K

— точка дотику зовнівписаного кола з центром

I_{A}

до сторони

BC

трикутника

ABC

. Тоді

S_{ABC}=S_{ABI_{A}}+S_{ACI_{A}}-S_{BCI_{A}}={\frac {1}{2}}AB\cdot r_{a}+{\frac {1}{2}}AC\cdot r_{a}-{\frac {1}{2}}BC\cdot r_{a}={\frac {1}{2}}r_{a}(b+c-a)=r_{a}(p-a)

. Звідси

r_{a}={\frac {S}{p-a}}

. Аналогічно можна легко отримати, що

r_{b}={\frac {S}{p-b}}

та

r_{c}={\frac {S}{p-c}}

.

$S={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}$ .

Доведення.

З попередньої властивості маємо, що

S=r_{a}(p-a)=r_{b}(p-b)=r_{c}(p-c)

. Звідси

S^{3}=r_{a}r_{b}r_{c}(p-a)(p-b)(p-c)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}S^{2}}{p}}

(за формулою Герона), а тому

S={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}

.

$S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}$ .

Доведення.

З попередньої властивості,

S={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}={\frac {rr_{a}r_{b}r_{c}}{rp}}={\frac {rr_{a}r_{b}r_{c}}{S}}

, звідки

S^{2}=rr_{a}r_{b}r_{c}

, а тому

S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}

.

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}$ .

Доведення.

Розпишемо:

p=3p-2p=3p-(a+b+c)=(p-a)+(p-b)+(p-c)

. З того, що

r_{a}={\frac {S}{p-a}}

(одна з попередніх властивостей), маємо

p-a={\frac {S}{r_{a}}}

. Аналогічно

p-b={\frac {S}{r_{b}}}

та

p-c={\frac {S}{r_{c}}}

. Також справедлива формула

p={\frac {S}{r}}

, оскільки

S=rp

. Замінивши компоненти в першій рівності, одержимо

{\frac {S}{r}}={\frac {S}{r_{a}}}+{\frac {S}{r_{b}}}+{\frac {S}{r_{c}}}

. Скоротивши обидві частини останньої рівності на ненульовий множник

S

, отримаємо остаточно

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}

.

Нехай $I$ — центр вписаного кола, $I_{A}$ — центр зовнівписаного кола. Тоді описане навколо трикутника $ABC$ коло ділить відрізок $II_{A}$ навпіл. Іншими словами, якщо $W$ — точка перетину бісектриси кута $\angle A$ та описаного кола трикутника $ABC$ , то $IW=WI_{A}$ (Лема Мансіона, частина теореми про трилисник (тризуб)).

Див. також

Література

Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2
Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с. ISBN 978-966-474-012-5

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.