Формула Герона

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: ${\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}$, де ${\displaystyle \ \gamma }$ — кут трикутника, що лежить навпроти сторони ${\displaystyle c}$.

Згідно з теоремою косинусів ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$. Звідси ${\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab}}$.

Тому ${\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}$

${\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}$

${\displaystyle ={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}$.

Оскільки справедливі рівності ${\displaystyle a+b+c=2p}$, ${\displaystyle a+b-c=2p-2c}$, ${\displaystyle a+c-b=2p-2b}$, ${\displaystyle c-a+b=2p-2a}$, отримуємо, що

${\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}$

Таким чином, ${\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$.

Ілюстрація до доведення формули Герона за допомогою зовнівписаного кола

Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle w_{1}}$ та ${\displaystyle w_{2}}$ — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони ${\displaystyle BC}$) коло відповідно, ${\displaystyle I}$ — центр вписаного кола ${\displaystyle w_{1}}$ (інцентр, точка перетину бісектрис), ${\displaystyle I_{a}}$ — центр зовнівписаного кола ${\displaystyle w_{2}}$ (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай ${\displaystyle K}$ — точка дотику вписаного кола до сторони ${\displaystyle AB}$, а ${\displaystyle T}$ — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони ${\displaystyle AB}$. Тоді ${\displaystyle IK=r}$ — радіус вписаного кола ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle I_{a}T=r_{a}}$ — радіус зовнівписаного кола ${\displaystyle w_{2}}$, і нехай ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ — півпериметр трикутника ${\displaystyle ABC}$..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що ${\displaystyle AK=p-a}$, ${\displaystyle KB=p-b}$, ${\displaystyle BT=p-c}$, a ${\displaystyle AT=p}$, причому ${\displaystyle IK\perp AB}$ та ${\displaystyle I_{a}T\perp AB}$.

Звідси маємо, що трикутники ${\displaystyle AIK}$ та ${\displaystyle AI_{a}T}$ подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом ${\displaystyle \angle IAK}$). Тому ${\displaystyle {\frac {AK}{AT}}={\frac {IK}{I_{a}T}}}$, тобто ${\displaystyle {\frac {p-a}{p}}={\frac {r}{r_{a}}}}$. Звідси ${\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S}$.

Знайдемо кут ${\displaystyle \angle BI_{a}T}$. Оскільки ${\displaystyle \bigtriangleup BI_{a}T}$ — прямокутний, то ${\displaystyle \angle BI_{a}T=90^{\circ }-\angle I_{a}BT}$. За побудовою ${\displaystyle BI_{a}}$ — бісектриса кута ${\displaystyle \angle CBT=180^{\circ }-\angle B}$ (як зовнішній кут), а тому ${\displaystyle \angle I_{a}BT={\frac {\angle CBT}{2}}={\frac {180^{\circ }-\angle B}{2}}=90^{\circ }-{\frac {\angle B}{2}}}$. Звідси ${\displaystyle \angle BI_{a}T={\frac {\angle B}{2}}}$.

Але також ${\displaystyle \angle BIK={\frac {\angle B}{2}}}$, оскільки ${\displaystyle BI}$ — бісектриса кута ${\displaystyle \angle B}$. Отримали, що трикутники ${\displaystyle BI_{a}T}$ та ${\displaystyle BIK}$ подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому ${\displaystyle {\frac {I_{a}T}{BK}}={\frac {BT}{IK}}}$, тобто ${\displaystyle {\frac {r_{a}}{p-b}}={\frac {p-c}{r}}}$. Звідси ${\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)}$.

З рівностей ${\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S}$ одержимо, що ${\displaystyle S^{2}=p(p-a)r_{a}r}$. Замінивши ${\displaystyle r_{a}r}$ по вище доведеній формулі ${\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)}$, одержимо остаточно ${\displaystyle S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)}$, або, що те саме, ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$.

• Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у вигляді[1]:

  ${\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}}$

Перший визначник останньої формули є окремим випадком визначника Келі — Менгера для обчислення гіпероб'єму симплекса.

• Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$ и ${\displaystyle m_{c}}$ і їх півсуму ${\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$[2]:

${\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}}$;

через довжини висот ${\displaystyle h_{a}}$, ${\displaystyle h_{b}}$ и ${\displaystyle h_{c}}$ і півсуму їх обернених величин ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$[3]:

${\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}$;

через кут трикутника ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ і ${\displaystyle \gamma }$, півсуму їх синусів ${\displaystyle s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2}$ і діаметр описаного кола ${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}}$[4]:

${\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.}$

• Weisstein, Eric W. Формула Герона(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2