Бісектриса

Бісектри́са (двосічна)[1] (лат. bissectrix, род. відм. bissectricis; від bis — «двічі» + secare — «розсікати», «розтинати») — термін, що вживається в геометрії для позначення кількох споріднених понять[2]:

Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл.
Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.

Бісектриса кута

Властивості

Побудова бісектриси

Кожна точка бісектриси кута однаково віддалена від його сторін.
Теорема про бісектрису: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка — центр одного з трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.
Основи бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не є паралельною протилежній стороні трикутника.
Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх основи лежать на одній прямій.
Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений (теорема Штейнера — Лемуса).
Побудова трикутника за трьома заданим бісектрисами за допомогою циркуля та лінійки неможлива,[3] причому навіть за наявності трисектора.[4]
В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину бісектрис у відношенні суми довжин прилеглих сторін до довжини протилежної, рахуючи від вершини.

Формули за участю довжини бісектриси

Бісектриса трикутника. Виконується співвідношення BD: DC = AB: AC

l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}

l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}

l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}

Де:

$l_{c}$ — бісектриса, проведена до сторони с
$a,b,c$ — сторони трикутника проти вершин A, B,C відповідно
$a_{l},b_{l}$ — довжини відрізків, на які бісектриса $l_{c}$ ділить сторону с
$\alpha ,\beta ,\gamma$ — внутрішні кути трикутника, що лежать навпроти сторін а, b,c відповідно
$h_{c}$ — висота трикутника, опущена на сторону c.

Див. також

Теорема про бісектрису

Примітки

M.Zharkikh. Орися Демська-Кульчицька - Д – Й. www.myslenedrevo.com.ua. Процитовано 13 липня 2018.
«Бісектриса» в УРЕ
Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. (рос.)
Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. (рос.)

Джерела

Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] M.Zharkikh. Орися Демська-Кульчицька - Д – Й. www.myslenedrevo.com.ua. Процитовано 13 липня 2018.

[2] «Бісектриса» в УРЕ

[3] Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. (рос.)

[4] Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. (рос.)