Золота спіраль

Рівняння для золотої спіралі в полярній системі координат таке ж саме, що і для інших логарифмічних спіралей, але зі спеціальним значенням коефіцієнта зростання b:

${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$,

або:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)}$,

де e — основа натуральних логарифмів, a — довільна позитивна дійсна константа, а b знаходиться з рівняння:

${\displaystyle e^{\frac {\pi b}{2}}\,=\varphi }$,

в якому ${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ — золотий перетин. Рішенням цього рівняння є:

${\displaystyle b={\frac {2\ln {\varphi }}{\pi }}\approx 0{,}306349}$.

Оскільки спіраль може йти як за годинниковою стрілкою, так і проти неї, b може бути і негативним:

Спіраль Фібоначчі апроксимує золоту спіраль з використанням четвертинок кола в квадратах з розмірами квадратів, що дорівнюють числам Фібоначчі. На малюнку показані квадрати з розмірами 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 34.

${\displaystyle b=\pm {\frac {2\ln {\varphi }}{\pi }}\approx \pm 0{,}306349}$.

Альтернативною формулою для золотої спіралі є:

${\displaystyle r=ac^{\theta }}$,

де константа c задається формулою:

${\displaystyle c=e^{b}=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\approx 1{,}358456}$.

Литовська монета

Існує кілька схожих спіралей, які наближені, але не збігаються в точності з золотою спіраллю, з якою їх часто плутають.

Наприклад, золоту спіраль можна апроксимувати, почавши з прямокутника, у якого відношення між довжиною і шириною дорівнює золотій пропорції (такий прямокутник називають золотим). Цей прямокутник можна розділити на квадрат і подібний йому прямокутник, його, в свою чергу, розділити тим же чином, і продовжувати цей процес довільну кількість разів. Тоді ми отримаємо майже повне розкладання прямокутника на квадрати. Кути цих квадратів можна з'єднати четвертинками кіл, і тоді ми отримаємо криву, яка хоч і не є справжньою логарифмічною спіраллю, але близько її апроксимує.

Ще однією апроксимацією є спіраль Фібоначчі, яка будується подібно до вищеописаної спіралі, за винятком того, що починають з прямокутника з двох квадратів і додають потім до більшої сторони прямокутника квадрат такої ж довжини. Оскільки відношення між сусідніми числами Фібоначчі наближається до золотої пропорції, спіраль все більше наближається до золотої спіралі по мірі додавання квадратів (див. другий малюнок).

Наближення до логарифмічних спіралей трапляється в природі (наприклад, рукави спіральних галактик чи раковини молюсків). Золоті спіралі є окремим випадком логарифмічних спіралей. Недавній глибокий аналіз спіралей, що зустрічаються в роговичному епітелії мишей, показав, що трапляються як золоті, так й інші логарифмічні спіралі. Іноді трапляються твердження, що спіральні галактики й раковини наутилідів частіше трапляються у формі золотої спіралі тому, що золота спіраль пов'язана із золотим перетином і послідовністю Фібоначчі, однак насправді спіральні галактики й раковини молюсків часто мають вигляд логарифмічних спіралей, які істотно відрізняються від золотої.

• Золотий кут
• Золотий прямокутник