Полярна система координат

Пару полярних координат ${\displaystyle r}$ та φ можна перевести в Декартові координати ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ шляхом застосування тригонометричних функцій синуса та косинуса:

${\displaystyle x=r\cos \varphi \,}$

${\displaystyle y=r\sin \varphi ,\,}$

декартові координати ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ можуть бути перетворені в полярні координати (${\displaystyle r}$; φ) таким чином:

${\displaystyle r^{2}=y^{2}+x^{2}\,}$ (за теоремою Піфагора).

Для визначення кутової координати φ, слід взяти до уваги два такі міркування:

• Для ${\displaystyle r}$ = 0, φ може бути довільним дійсним числом.
• Для ${\displaystyle r}$ ≠ 0, аби отримати унікальне значення φ, слід обмежитись інтервалом в 2π. Зазвичай, обирають інтервал [0, 2π) або (−π, π].

Для обчислення φ в інтервалі [0, 2π), можна скористатись такими рівняннями (${\displaystyle {\text{arctg}}\;}$ позначає обернену функцію до тангенсу):

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}{\text{arctg}}\;({\frac {y}{x}})&x>0,\quad y\geq 0\\{\text{arctg}}\;({\frac {y}{x}})+2\pi &x>0,\quad y<0\\{\text{arctg}}\;({\frac {y}{x}})+\pi &x<0\\{\frac {\pi }{2}}&x=0,\quad y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&x=0,\quad y<0\end{cases}}}$

Для обчислення φ в інтервалі (−π, π], можна скористатись такими рівняннями:[14]

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}{\text{arctg}}\;({\frac {y}{x}})&x>0\\{\text{arctg}}\;({\frac {y}{x}})+\pi &x<0,\quad y\geq 0\\{\text{arctg}}\;({\frac {y}{x}})-\pi &x<0,\quad y<0\\{\frac {\pi }{2}}&x=0,\quad y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&x=0,\quad y<0\end{cases}}}$

Декартова площина відображена в полярній системі координат

Зважаючи на те, що для обчислення полярного кута не досить знати відношення y до x, а ще й додатково знаки одного з цих чисел, багато сучасних мов програмування мають серед своїх функцій окрім функції atan, яка визначає арктангенс числа, ще й додаткову функцію atan2, яка має окремі аргументи для чисельника та знаменника. У мовах програмування, що підтримують необов'язкові аргументи (наприклад, у Common Lisp), функція atan може отримувати значення координати x.

Коло задане рівнянням ${\displaystyle r}$(φ) = 1

Загальне рівняння кола з центром в (${\displaystyle r_{0},\theta }$) та радіусом ${\displaystyle a}$ має вигляд:

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,}$

Це рівняння може бути спрощене для окремих випадків, наприклад

${\displaystyle r(\varphi )=a\,}$

є рівнянням, що визначає коло з центром в полюсі та радіусом ${\displaystyle a}$.[15]

Радіальні прямі (ті, що проходять через полюс) визначаються рівнянням

${\displaystyle \varphi =\theta \,}$,

де θ — кут, на який пряма відхиляється від полярної осі; тобто, θ = arctg ${\displaystyle m}$ де ${\displaystyle m}$ — нахил прямої в Декартовій системі координат. Нерадіальна пряма, що перпендикулярно перетинає радіальну пряму φ = θ в точці (${\displaystyle r}$₀, θ) визначається рівнянням

${\displaystyle r(\varphi )={r_{0}}\sec(\varphi -\theta ).\,}$

Полярна роза задана рівнянням ${\displaystyle r}$(φ) = 2 sin 4φ.

Полярна роза — відома математична крива, схожа на квітку з пелюстками. Вона може бути визначена простим рівнянням в полярних координатах:

${\displaystyle r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})\,}$

для довільної сталої ${\displaystyle \theta _{0}}$ (включно з 0). Якщо k — ціле число, то це рівняння визначатиме розу з k пелюстками для непарних k, або з 2k пелюстками для парних k. Якщо k — раціональне, але не ціле, графік заданий рівнянням утворить фігуру подібну до рози, але пелюстки будуть перекриватись. Рози з 2, 6, 10, 14 і т. д. пелюстками цим рівнянням визначити неможливо. Змінна a визначає довжину пелюсток.

Одна з гілок спіралі Архімеда що задається рівнянням r(φ) = φ для 0 < θ < 6π

Відома спіраль Архімеда названа на честь її винахідника, давньогрецького математика Архімеда. Цю спіраль можна визначити за допомогою простого полярного рівняння:

${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .\,}$

Зміни параметру a призводять до повороту спіралі, а параметру b — відстані між витками, яка є константою для конкретної спіралі. Спіраль Архімеда має дві гілки, одну для φ > 0 а іншу для φ < 0. Дві гілки плавно сполучаються в полюсі. Дзеркальне відображення однієї гілки відносно прямої що проходить через кут 90°/270° дасть іншу гілку. Ця крива цікава тим, що була описана в математичній літературі однією з перших, після конічного перетину, й найкраще серед інших визначається саме полярним рівнянням.

Еліпс.

Конічний перетин, один з полюсів якого знаходиться в полюсі, а інший десь на полярній осі (так, що мала піввісь лежить вздовж полярної осі) задається рівнянням:

${\displaystyle r={\ell \over {1+e\cos \varphi }}}$

де e — ексцентриситет, а ${\displaystyle \ell }$ — фокальний параметр. Якщо e > 1, це рівняння визначає гіперболу; якщо e = 1, то параболу; якщо e < 1, то еліпс. Окремим випадком є e = 0, що визначає коло з радіусом ${\displaystyle \ell }$.

Справедливі такі формули:

${\displaystyle r{\tfrac {\partial }{\partial r}}=x{\tfrac {\partial }{\partial x}}+y{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,}$

${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial \varphi }}=-y{\tfrac {\partial }{\partial x}}+x{\tfrac {\partial }{\partial y}}.}$

Щоб знайти тангенс кута нахилу дотичної до будь-якої даної точки полярної кривої r(φ) у декартових координатах, виразимо їх через систему рівнянь у параметричному вигляді:

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \,}$

${\displaystyle y=r(\varphi )\sin \varphi \,}$

Диференціюючи обидва рівняння по φ отримаємо:

${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,}$

${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\,}$

Поділивши ці рівняння (друге на перше), отримаємо шуканий тангенс кута нахилу дотичної у декартовій системі координат у точці (r, r(φ)):

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$

Область R, яка утворена полярною кривою r(φ) та променями φ = a та φ = b.

Нехай R — область, яку утворюють полярна крива r(φ) і промені φ = a та φ = b, де 0 < b − a < 2π. Тоді площа цієї області знаходиться визначеним інтегралом:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .}$

Область R наближено утворена з n секторів (тут, n = 5).

Такий результат можна отримати наступним чином. Спочатку розіб'ємо інтервал [a, b] на довільне число підінтервалів n. Таким чином довжина такого підінтервалу Δφ дорівнює b − a (повна довжина інтервалу) поділена на n (число підінтервалів). Нехай для кожного підінтервалу i = 1, 2, …, n φ_i — середня точка. Побудуємо сектори з центром у полюсі, радіусами r(φ_i), центральними кутами Δφ і довжиною дуг ${\displaystyle r(\varphi _{i})\Delta \varphi \,}$. Тому площа кожного такого сектора буде ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi }$. Звідси, повна площа всіх секторів:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$

Якщо число підінтервалів n збільшувати, то похибка такого наближеного виразу буде зменшуватися. Поклавши n → ∞, вище отримана сума стане інтегральною. Границя цієї суми при Δφ → 0 визначає вищеописаний інтеграл:

${\displaystyle \lim _{\Delta \varphi \rightarrow 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi }$

Використовуючи декартові координати, площа нескінченно малого елементу може бути обчислена як dA = dx dy. Під час переходу до іншої системи координат у багатократних інтегралах, необхідно використовувати визначник Якобі:

${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}}$

Для полярної системи координат, визначник матриці Якобі дорівнює r:

${\displaystyle J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$

Отже, площу елемента у полярних координатах можна записати так:

${\displaystyle dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$

Тепер, функція, записана у полярних координатах, може бути інтегрованою таким чином:

${\displaystyle \iint _{R}f(r,\varphi )\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\varphi )}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$

Тут область R така сама, як і у попередньому розділі, тобто така, яку утворюють полярна крива r(φ) і промені φ = a та φ = b.

Формула для обчислення площі, яку описано у попередньому розділі, отримана у випадку f=1. Цікавим результатом застосування формули для кратних інтегралів є інтеграл Гауса:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

До полярних координат можна застосувати елементи векторного аналізу. Будь-яке векторне поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ можна записати в полярній системі координат, використовуючи одиничні вектори

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )\,}$

у напрямку ${\displaystyle \mathbf {r} }$, і

${\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }=(-\sin \varphi ,\cos \varphi )\,}$:

${\displaystyle \mathbf {F} =F_{r}\mathbf {e} _{r}+F_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }}$.

Зв'язок між декартовими компонентами поля ${\displaystyle F_{x}\,}$ та ${\displaystyle F_{y}\,}$ і його компонентами в полярній системі координат задається рівняннями:

${\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi \,}$

${\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi \,}$

Відповідним чином у полярній системі координат визначаються оператори векторного аналізу. Наприклад, градієнт скалярного поля ${\displaystyle \Phi (r,\varphi )\,}$ записується:

${\displaystyle {\text{grad }}\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }}$.

Точка P накреслена в циліндричній системі координат.

Циліндрична система координат, грубо кажучи, розширює пласку полярну систему додаванням третьої лінійної координати, що має назву висоти і дорівнює висоті точки над нульовою площиною подібно до того, як Декартова система розширюється на випадок 3-х вимірів. Третя координата зазвичай позначається як z, утворюючи трійку координат (ρ, φ, z).

Трійку циліндричних координат можна перевести в Декартову систему такими перетвореннями:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\cos \varphi \\y&=\rho \,\sin \varphi \\z&=z.\end{aligned}}}$

Точка накреслена в сферичній системі координат.

Також полярні координати можна розширити на випадок трьох вимірів шляхом додавання кутової координати θ, що дорівнює куту повертання від вертикальної осі z (називається зенітом або широтою, значення знаходяться в інтервалі від 0 до 180°). Тобто, сферичні координати, це трійка (r, θ, φ), де r — відстань від центру координат, φ — кут від осі x (як і в пласких полярних координатах), θ — широта. Сферична система координат подібна до географічної системи координат для визначення місця на поверхні Землі, де початок координат збігається з центром Землі, широта δ є доповненням θ і дорівнює δ = 90° − θ, а довгота l обчислюється за формулою l = φ − 180°.[19]

Трійку сферичних координат можна перевести в декартову систему такими перетвореннями:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\y&=r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\z&=r\,\cos \theta .\end{aligned}}}$

Полярну систему координат можна розширити на випадок n-мірного простору. Нехай ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ — координатні вектори n-мірної декартової системи координат. Необхідні координати в n-вимірній полярній системі можна вводити як кут відхилення вектора ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ від координатної осі ${\displaystyle x_{i+2}}$.

Для переведення узагальнених n-вимірних полярних координат у декартові можна скористатись такими формулами:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\ \cos \varphi \ \sin \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{2}&=&r\ \sin \varphi \ \sin \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{3}&=&r\ \cos \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{4}&=&r\ \cos \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \qquad \qquad \qquad \quad \\x_{n-1}&=&r\ \cos \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{n}&=&r\ \cos \vartheta _{n-2}\end{array}}}$

Як можна показати, випадок n=2відповідає звичайній полярній системі координат на площині, а n=3 звичайній сферичній системі координат.

Якобіан перетворення полярних координат в Декартові матиме вигляд:

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial (r,\varphi ,\vartheta _{1},\ldots ,\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}\left(\sin \vartheta _{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin \vartheta _{n-2}\right)^{n-2}}$

Де n-вимірний елемент об'єму матиме вигляд:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {d} V&=&r^{n-1}\sin \vartheta _{1}\left(\sin \vartheta _{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin \vartheta _{n-2}\right)^{n-2}\mathrm {d} r\ \mathrm {d} \varphi \ \mathrm {d} \vartheta _{1}\ldots \mathrm {d} \vartheta _{n-2}\\&=&r^{n-1}\ \mathrm {d} r\ \mathrm {d} \varphi \ \prod \limits _{j=1}^{n-2}(\sin \vartheta _{j})^{j}\ \mathrm {d} \vartheta _{j}\end{matrix}}.}$

Полярну систему координат часто застосовують у навігації, оскільки пункт призначення можна задати як відстань та напрям руху від відправної точки. Наприклад, в авіації, для навігації застосовують трохи змінену версію полярних координат. У цій системі, що зазвичай використовується для навігації, промінь 0° називають напрямком 360, а кути відраховуються в напрямку за годинниковою стрілкою. Напрямок 360 відповідає магнітній півночі, а напрями 90, 180, та 270 відповідають магнітним сходу, заходу та півдню.[20] Так, літак, що летить 5 морських миль на схід можна описати як літак, що летить 5 одиниць в напрямі 90 (центр керування польотами назве його найне-зіро).[21]

Фронт потужності звукової хвилі промислового гучномовця показаний в сферичних полярних координатах при шістьох частотах.

Системи з радіальною симетрією дуже добре підходять для описання в радіальних координатах, де полюс системи координат збігається з центром симетрії. Як приклад можна навести рівняння току ґрунтових вод у випадку радіально симетричних колодязів. Системи з центральними силами також підходять для моделювання в полярних координатах. До таких систем належать гравітаційні поля, що підпорядковуються закону зворотно-квадратичної залежності, так і системи з точковими джерелами енергії, такі як радіо-антени.

Тривимірне моделювання звуку гучномовців може використовуватися для прогнозування їхньої ефективності. Необхідно зробити декілька діаграм в полярних координатах для широкого діапазону частот, оскільки фронт істотно змінюється залежно від частоти звуку. Полярні діаграми допомагають побачити, що багато гучномовців зі зниженням частоти звуку втрачають направленість.

У полярних координатах також прийнято представляти характеристику направленості мікрофонів, що визначається відношенням чутливості Мα при падінні звукової хвилі під кутом α відносно акустичної осі мікрофона до його осьової чутливості: φ = M_α/M₀