Золотий перетин

Золотий перетин ${\displaystyle \varphi }$ можна обчислити безпосередньо з означення:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$.

Праве рівняння дає ${\displaystyle a=b\varphi \,}$. Підставляючи цю рівність у ліву частину:

${\displaystyle {\frac {b\varphi +b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b}}}$.

Скоротивши ${\displaystyle b\,}$ отримаємо:

${\displaystyle {\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi }$.

Помноживши обидві частини на ${\displaystyle \varphi \,}$ після перестановки отримаємо:

${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0.}$

Це квадратне рівняння має два розв’язки, один з яких є додатнім

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887\dots \,}$

Спіраль Фібоначчі

Золотий перетин є границею відношення двох сусідніх членів у послідовності Фібоначчі:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi }$.

При цьому члени послідовності ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$ збігаються до ${\displaystyle \varphi \,}$ поперемінно: один елемент — знизу, наступний — зверху тощо. Наприклад,

${\displaystyle {\frac {F_{6}}{F_{5}}}={\frac {8}{5}}=1{,}6<\varphi <{\frac {F_{7}}{F_{6}}}={\frac {13}{8}}=1{,}625}$.

Формула Біне виражає за допомогою ${\displaystyle \varphi \,}$ значення числа Фібоначчі ${\displaystyle F_{n}\,}$ в явному вигляді:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}\approx {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\quad (n\geq 1)}$.

Окрім цього, послідовні степені числа ${\displaystyle \varphi \,}$ задовільняють рекурентному співвідношенню ідентичному до чисел Фібоначчі:

${\displaystyle \varphi ^{n+2}=\varphi ^{n+1}+\varphi ^{n}}$.

Спіраль Фібоначчі (див. рисунок) є наближенням золотої спіралі.

Червоний : Зелений =
Зелений : Синій =
Синій : Фіолетовий = ${\displaystyle \varphi \,}$

Золотий перетин виступає у правильній пентаграмі, яка вважалася магічним символом у багатьох культурах. Точка перетину сторін ділить їх у золотій пропорції. Більша частина сторони також ділиться у золотій пропорції іншою точкою перетину.

Пентаграма містить п’ять гострокутних та п’ять тупокутних золотих трикутників. У кожному з них співвідношення довжини довшої та коротшої сторони утворює золотий перетин.

Якщо побудувати нескінченну пентаграму[4] (продовжити "правильну п’ятикутну зірку" п’ятикутниками і "вістряками" назовні і всередину) і надати якомусь її відрізку значення 1,000, отримаємо ряд чисел, який є послідовними степенями числа Ф (фі): Ф⁰ = 1,000…, Ф¹ = 1,6180339…, Ф² = 2,6180339…, Ф³ = 4,2360679…, Ф⁴ = 6,8541019…, Ф⁵ = 11,0901699, і "всередину" (в сторону менш як 1,00): Ф⁻¹ = 0,6180339…, Ф⁻² = 0,3819660…, Ф⁻³ = 0,2360679…, Ф⁻⁴ = 0,1458980…. Можна виявити дивну властивість цих двох послідовностей ( "назовні" і "всередину" від одиниці): парні степені Ф дають цілі числа при додаванні: Фⁿ + Ф⁻ⁿ, а непарні — при відніманні Фⁿ − Ф⁻ⁿ. Отримуємо цілочисельний ряд 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18…, названий "рядом Люка". Ряд Фібоначчі виходить схожим чином, при діленні на V5 (корінь з 5): (Фⁿ + Ф⁻ⁿ) / V5 для непарних n = 2k + 1 і (Фⁿ − Ф^-n )/ V5 для парних n = 2k (тут навпаки: непарні степені Ф додаються, а парні — віднімаються). Обидві формули вивів в 19 столітті французький математик Жак Філіп Марі Біне (1786 — 1856).

Варто також зауважити, що будь-який ряд, з будь-якими початковими числами, у якого наступний член виходить додаванням двох попередніх ${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}+X_{n-1}}$, — у великих числах (при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$) прагне до "золотого співвідношення" між сусідніми членами. Тобто до класичної формули знаходження числа Ф через V5: Ф = (1 + V5) / 2 ми можемо додати ще дві: Ф як границя співвідношення між сусідніми членами будь-якого ряду Фібоначчі: ${\displaystyle \Phi =\lim(X_{n}/X_{n-1})}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, і третя формула виходить з геометрії пентаграми: ${\displaystyle \Phi =2\cos 36^{\circ }}$.

Золотий перетин і зорові центри

Під «правилом золотого перетину» в архітектурі та мистецтві зазвичай розуміються композиції, що містять пропорції, близькі до золотого перетину.

Деякі з тверджень на доказ гіпотези знання древніми правила золотого перетину:

• Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого перерізу при їх створенні^{[джерело?]}.
• Згідно з Ле Корбюзьє, в рельєфі з храму фараона Сеті I в Абідосі й у рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають золотому перетину. У фасаді давньогрецького храму Парфенона також наявні золоті пропорції. У циркулі з давньоримського міста Помпеї (музей в Неаполі) також закладено пропорції золотого перетину, тощо. При обговоренні оптимальних співвідношень сторін прямокутників (розміри аркушів паперу A0 і кратні, розміри фотопластинок (6:9, 9:12) або кадрів фотоплівки (часто 2:3), розміри кіно- і телевізійних екранів — наприклад, 4:3 або 16:9) були випробувані найрізноманітніші варіанти. Виявилося, що більшість людей не сприймає золотий перетин як оптимальний і вважає його пропорції «занадто витягнутими»^{[джерело?]}.
• Слід зазначити, що сама пропорція є, скоріше, еталонним значенням, матрицею, відхилення від якої у біологічних видів, можливо, викликані пристосуванням до навколишнього середовища в процесі життя. Прикладом таких «відхилень» може служити морська камбала.

Всі пропорції та елементи збудованої приблизно на початку XIII століття П’ятницької церкви в Чернігові перебувають у співвідношенні, яке майже точно відповідає «золотому перетину».[5]

Дослідження показали, що кульмінація багатьох творів класичної музики розташована між початком і кінцем у співвідношенні 8:5 — тобто в точці золотого перетину. Професор Лев Мазель проаналізував твори майже всіх найвидатніших композиторів і дійшов висновку, що найчастіше золотий перетин використовували Людвіг ван Бетховен (у 97 % творів), Йозеф Гайдн (також 97 % творів), Фридерик Шопен (92 %), Вольфганг Амадей Моцарт (91 %), Франц Шуберт (91 %) та багато інших композиторів.

Мозаїка Пенроуза

Починаючи з Леонардо да Вінчі, багато художників свідомо використовували пропорції «золотого перетину». Йоганн Себастьян Бах у своїй триголосній інвенції E-dur № 6 BWV 792 використовував двочастну форму, в якій співвідношення розмірів частин відповідає пропорціям золотого перетину. 1 частина — 17 тактів, 2 частина — 24 такти (невеликі невідповідності вирівнюються завдяки ферматі в 34 такти).

Геометрія плану гробниці фараона Стародавнього Єгипту Менеса побудована з використанням пропорції, яку ми зараз пов’язуємо з золотим перетином[6].

Деталі рослини Aeonium tabuliforme де видно багатократне спіральне впорядкування (парастихи)

Живі організми також мають властивості, характерні для «золотого перетину». Наприклад, пропорції тіл, спіральні структури або параметри біоритмів[7].

Адольф Цейзинг, основними інтересами якого були математика і філософія, помітив, що золотий перетин зустрічається у природі в структурі частин рослин, наприклад в розміщенні листя і гілок здовж стебла рослин, а також внутрішніх жилок листків. Він продовжив своє дослідження і знайшов це співвідношення в будові скелетів тварин і розгалужень вен та нервів, в пропорціях хімічних складових і геометрії кристалів, і навіть доклав це до вжитку в мистецтві. Знайшовши ці патерни у природі він вбачав, що золотий перетин діє як універсальний закон.[8][9] Відносно цієї схеми золотого перетину в основі пропорцій людського тіла, Цейзинг в 1854 сформулював універсальний закон, "у якому міститься основний принцип формотворних прагнень до прекрасного і довершеного як у сфері природи, так і мистецтва, і який пронизує всі структури, форми та пропорції" різної природи.[10]

У 2010, в журналі Science повідомлялося, що золотий перетин присутній в атомній структурі у вигляді магнітного резонансу спінів в кристалах ніоббату кобальту.[11]

У 1991 році, декілька вчених висунули думку про можливий зв’язок між золотим перетином і ДНК людського геному.[12][13][14]

Однак, багато вчених заперечили, що багато тверджень щодо виявлення золотого перетину в природі, особливо щодо розмірів тварин, є фіктивними.[15]

Золотий перетин у природі