Клас Линника I 0

Клас Линника ${\displaystyle I_{0}}$— одне з центральних понять в арифметиці ймовірнісних розподілів.

Дотримуючись Ю.В.Линника, клас розподілів, які не мають нерозкладних подільників, позначимо через ${\displaystyle I_{0}}$. Нехай ${\displaystyle \mu \in I_{0}}$. Тоді, згідно з другою теоремою Хінчина розподіл ${\displaystyle \mu \in I_{0}}$ безмежно подільний, а отже, за формулою Леві характеристична функція ${\displaystyle \mu \in I_{0}}$ може бути представлена у вигляді

${\displaystyle {\hat {\mu }}(s)=\exp \left\{is\beta -\sigma s^{2}+\int \limits _{\mathbb {R} \backslash \{0\}}\left(e^{ixs}-1-{ixs \over 1+x^{2}}\right)dF(x)\right\},}$ (1)

де  ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma \geq 0}$, ${\displaystyle F}$ — цілком ${\displaystyle \sigma }$-скінченна міра, яка задовольняє умові

${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} \backslash \{0\}}{x^{2} \over {1+x^{2}}}dF(x)<\infty .}$

Міра ${\displaystyle F}$ називається спектральною мірою Леві безмежно подільного розподілу ${\displaystyle \mu }$.

Центральна проблема арифметики ймовірнісних розподілів полягає в знаходженні умов на ${\displaystyle \sigma }$ та ${\displaystyle F}$, які є необхідними або достатніми для того, щоб безмежно подільний розподіл ${\displaystyle \mu }$ належав класу ${\displaystyle I_{0}}$.

Позначимо через ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ клас безмежно подільних розподілів ${\displaystyle \mu }$, які мають ту властивість, що спектральна міра Леві ${\displaystyle F}$ в (1) дискретна та зосереджена на множині виду

${\displaystyle \{\mu _{k1}\}_{k=-\infty }^{\infty }\cup \{\mu _{k2}\}_{k=-\infty }^{\infty }}$,

де ${\displaystyle \mu _{k1}>0}$, ${\displaystyle \mu _{k2}<0}$, а числа ${\displaystyle \mu _{k+1,r}/\mu _{k,r}}$, ${\displaystyle r=1,2}$, ${\displaystyle k=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$— натуральні, відмінні від 1.