Клас Линника I 0

Клас Линника — одне з центральних понять в арифметиці ймовірнісних розподілів.

Дотримуючись Ю.В.Линника, клас розподілів, які не мають нерозкладних подільників, позначимо через . Нехай . Тоді, згідно з другою теоремою Хінчина розподіл безмежно подільний, а отже, за формулою Леві характеристична функція може бути представлена у вигляді

(1)

де  , , — цілком -скінченна міра, яка задовольняє умові

Міра називається спектральною мірою Леві безмежно подільного розподілу .

Центральна проблема арифметики ймовірнісних розподілів полягає в знаходженні умов на та , які є необхідними або достатніми для того, щоб безмежно подільний розподіл належав класу .

Позначимо через клас безмежно подільних розподілів , які мають ту властивість, що спектральна міра Леві в (1) дискретна та зосереджена на множині виду

,

де , , а числа , , — натуральні, відмінні від 1.

Теорема Линника про клас

Нехай — безмежно подільний розподіл та в формулі (1) . Якщо , то . [1]

Існують розподіли, що належать класу і не належать . Відповідний приклад побудований в роботі А.А. Гольдберга та Й.В. Островського [2]. З іншого боку, при додатковому припущенні про швидке спадання величини при приналежність класу тягне приналежність класу [3, розділ V].

Наведемо два важливих результати про приналежність класу узагальненого розподілу Пуассона, тобто безмежно подільного розподілу , у якого в (1) , а спектральна міра Леві майже скінченна.

Теорема 1 про приналежність класу узагальненого розподілу Пуассона.

Припустимо, що в (1) , спектральна міра Леві цілком скінченна та зосереджена на інтервалі , де . Тоді . [4].

Теорема 2 про приналежність класу узагальненого розподілу Пуассона.

Припустимо, що в (1) , спектральна міра Леві цілком скінченна та зосереджена на множині з незалежними точками. Тоді . [5].

Властивості класу як підмножини в класі усіх безмежно подільних розподілів.

  1. Клас щільний в слабкій топології в класі усіх безмежно подільних розподілів. [6].
  2. Будь-який безмежно подільний розподіл можна представити у вигляді скінченної або нескінченної згортки розподілів, які належать класу . [4].

Література

  1. Линник Ю.В. Общие теоремы о разложении безгранично делимых законов. I, Теория вероятностей и ее применения, 3, вып. 1, (1958), 3-40.
  2. А.А. Гольдберг, И.В. Островский. Применение теоремы У.К. Хеймана к одному вопросу теории разложений вероятностных законов. Украинский математический журнал, 19, № 3, (1967), 104-106.
  3. Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972.
  4. Островский  И.В. О разложениях безгранично делимых законов без гауссовой компоненты. ДАН СССР, 161, № 1, (1965), 48-51.
  5. Cuppens, R. Ensembles indépendants et décomposition des fonctions caractéristiques. C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. A-B 272, (1971) A1464–A1466.
  6. Островский  И.В. О некоторых классах безгранично делимых законов. ИАН СССР, серия. матем. 34, № 4, (1970), 923-944.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.