Космологічний масштабний фактор

Космологічний масштабний фактор — параметр рівняння Фрідмана, що є показником зміни віддалі між галактиками внаслідок розширення (або стиснення) Всесвіту. Космологічний масштабний фактор позначається зазвичай літерою ${\displaystyle a}$, залежить від часу, а його логарифмічна похідна по часу дорівнює сталій Габбла:

${\displaystyle H={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}}$.

Зазвичай космологічний мастштабний фактор вибирають безрозмірним, його теперішнє значення ${\displaystyle a(t_{0})=1}$, де ${\displaystyle t_{0}}$ вік Всесвіту, починаючи від Великого вибуху. Його можна також вибрати розмірним з розмірністю довжини.

Масштабний фактор входить у метрику Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}/a^{2}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}$.

Цю метрику можна отримати з таких міркувань (для k=1): нехай однорідно заповнений речовиною простір є сферою у чотиривимірному гіперпросторі з координатами ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},}$. Рівнняня гіперсфери:

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=a^{2}}$.

Виключаючи за допомогою цього рівняння ${\displaystyle x_{4}}$, вираз для елемента довжини в сферичній системі координат набуде виду:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-r^{2}/a^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}$,

що й дає наведену вище метрику. Відповідно до цих рівнянь фактор ${\displaystyle a}$ можна інтерпретувати як кривину тривимірного простору.