Криволінійний інтеграл I роду

Означення

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Розглянемо неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб’ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,..., M_n=B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;...; n). Виберемо на кожній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму
$\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}$ .
Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB. Нехай $\lambda =max\Delta l_{i},1\leq i\leq n$ - найбільша із довжин дуг поділу. Якщо $\lambda \rightarrow 0$ ( $n\rightarrow \infty$ ) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають
$\int _{AB}f(x;y)\,dl$ або $\int _{L}f(x;y)\,dl$ .
Таким чином, за означенням
$\int _{AB}f(x;y)\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}$ .

Теорема про існування криволінійного інтеграла І роду

Якщо функція f(x;y) неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці $(x;y)\in L$ існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл І роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.

Властивості криволінійного інтеграла І роду

1. $\int _{AB}f(x;y)\,dl=\int _{BA}f(x;y)\,dl$ , тобто криволінійний інтеграл І роду не залежить від напрямку інтегрування.

2. $\int _{L}c\cdot f(x;y)\,dl=c\cdot \int _{L}f(x;y)\,dl,c=const$ , тобто сталий множник можна виносити за знак інтегралу.

3. $\int _{L}(f_{1}(x;y)\pm f_{2}(x;y))\,dl=\int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\pm \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl$ , тобто інтеграл суми(різниці) дорівнює сумі(різниці) інтегралів.

4. $\int _{L}f(x;y)\,dl=\int _{L_{1}}f(x;y)\,dl+\int _{L_{2}}f(x;y)\,dl$ , якщо шлях інтегрування L розбито на частини L₁ і L₂ такі, що $L=L_{1}\bigcup L_{2}$ і L₁ та L₂ мають єдину спільну точку.

5. Якщо для точок кривої L виконується нерівність $f_{1}(x;y)\leq f_{2}(x;y)$ , то $\int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\leq \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl$

6. $\int _{AB}\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta l_{i}=l$ , де l - довжина кривої AB.

7. Якщо функція f(x;y) неперервна на кривій AB, то на цій кривій знайдеться точка (x_c;y_c) така, що $\int _{AB}f(x;y)\,dl=f(x_{c};y_{c})\cdot l$ (теорема про середнє).

Обчислення криволінійного інтегралу І роду

Параметричне задання кривої інтегрування

Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга AB в параметричному вигляді:
$L={\breve {AB}}={\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}\alpha \ \leq \ t\leq \ \beta \$ ,
тобто x(t), y(t), z(t) є неперервними на [α, β]. То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій $\int _{L}^{}f(x,y,z)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t),z(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt$
Для двовимірного випадку:
$\int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt$

Явне задання кривої інтегрування

Явне задання кривої: y = y(x) , x ∈[a,b]: f x y dl f x y x y x dx

Полярне задання кривої інтегрування

Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
$\rho \ =\rho \ (\phi \ ),\phi _{1}\ \leq \ \phi \ \leq \ \phi _{2}\$ То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій
$\int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\phi _{1}\ }^{\phi _{2}\ }f(\rho \ (\phi \ )cos\phi \ ,\rho \ (\phi \ )sin\phi \ ){\sqrt {\rho ^{2}\ +(\rho \ '(\phi \ ))^{2}}}\,d\phi \$

Застосування криволінійного інтегралу І роду

Див. також

Інтеграл
Криволінійний інтеграл
Криволінійний інтеграл ІІ роду

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.