Криволінійний інтеграл

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}}$.

Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB.

Нехай ${\displaystyle \lambda =\max \Delta l_{i},1\leq i\leq n}$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ (${\displaystyle n\rightarrow \infty }$) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають

${\displaystyle \int _{AB}f(x;y)\,dl}$ або ${\displaystyle \int _{L}f(x;y)\,dl}$.

Таким чином, за означенням

${\displaystyle \int _{AB}f(x;y)\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}}$.

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}}$,

де ${\displaystyle \Delta x_{i}-x_{i-1}}$ — проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.

Нехай ${\displaystyle \lambda =\max \Delta l_{i},1\leq i\leq n}$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ (${\displaystyle n\rightarrow \infty }$) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (x_i;y_i), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають

${\displaystyle \int _{AB}P(x;y)\,dl}$ або ${\displaystyle \int _{L}P(x;y)\,dl}$.

Таким чином, за означенням

${\displaystyle \int _{AB}P(x;y)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}}$.

Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:

${\displaystyle \int _{AB}Q(x;y)\,dy=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}Q(x_{i};y_{i})\Delta y_{i}}$,

де ${\displaystyle \Delta y_{i}}$ — проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Oy.

Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:

${\displaystyle \int _{AB}P(x;y)\,dx+Q(x;y)\,dy=\int _{AB}P(x;y)\,dx+\int _{AB}Q(x;y)\,dy}$

Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:

${\displaystyle \int _{AB}P(x;y;z)\,dx+Q(x;y;z)\,dy+R(x;y;z)\,dz}$