Латинський квадрат

Кожен латинський квадрат розмірності n може бути записаний за допомогою трійок (r,c,s), де r -номер рядка, c -номер стовпця,s - елемент. Для поданого вище латинського квадрата маємо представлення: { (1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(2,1,2),(2,2,3),(2,3,1),(3,1,3),(3,2,1),(3,3,2) } За допомогою ортогонального представлення можна дати визначення латинського квадрата:

• Латинський квадрат це система n² трійок (r,c,s), де 1 ≤ r, c, s ≤ n.
• Всі пари (r,c) є відмінні, всі пари (r,s) є відмінні, всі пари (c,s) є відмінні.

Якщо один латинський квадрат одержується з іншого перестановкою рядків стовпців і перепозначенням елементів то такі квадрати називаються ізотопними. Відношення ізотопності є відношенням еквівалентності і розбиває множину латинських квадратів на класи ізотопності. Якщо в ортогональному запису до всіх трійок застосувати одну перестановку то одержимо інший квадрат який називають спряженим до попереднього. Поєднавши відношення ізотопності і спряженості одержимо відношення паратопності, класи розбиття якого також називають головними

Зараз невідома точна формула для визначення кількості всіх нормалізованих латинських квадратів порядку n. Щоб визначити загальну кількість латинських квадратів порядку n, треба кількість всіх нормалізованих латинських квадратів помножених на n!(n-1)!. Однією з формул, що обчислює межі для можливої кількості є формула Ван Лінта - Вілсона:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(k!\right)^{n/k}\geq L(n)\geq {\frac {\left(n!\right)^{2n}}{n^{n^{2}}}}}$

У наступній формулі подані відомі тепер^[коли?] результати щодо кількості латинських квадратів:

Два латинських квадрати називаються ортогональними, якщо всі пари символів (a,b), де a — символ в деякій клітинці першого квадрата, а b — символ в тій же клітинці другого квадрата є всі різні. Прикладом ортогональних квадратів є:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\\\end{bmatrix}}\quad \quad {\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\\2&3&1\\\end{bmatrix}}}$

Неважко переконатись, що всі пари відповідних елементів є різні:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}11&22&33\\23&31&12\\32&13&21\\\end{bmatrix}}}$

Ортогональні латинські квадрати існують для всіх n крім 2 і 6. Якщо в кожній діагоналі латинського квадрата всі елементи різні, такий латинський квадрат називається діагональним. Пари ортогональних діагональних латинських квадратів існують для всіх n, крім 2, 3 і 6. Прикладом ортогональних діагональних латинських квадратів може бути:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\5&3&4&1&2\\4&5&2&3&1\\2&4&1&5&3\\3&1&5&2&4\\\end{bmatrix}}\quad \quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\4&5&2&3&1\\5&3&4&1&2\\3&1&5&2&4\\2&4&1&5&3\\\end{bmatrix}}}$

Квадрат із пар елементів двох ортогональних латинських квадратів називається греко-латинським квадратом.

Латинські квадрати мають широке застосування в області планування експериментів. Нехай потрібно провести декілька експериментів, що залежать від трьох параметрів 1≤a,b,c≤n, так щоб для кожної пари були випробувані всі n² варіантів. Тоді необхідно взяти деякий латинський квадрат порядку n і провести n² експериментців з параметрами a = номер рядка, b = номер стовпця, c = значення у відповідній клітині латинського квадрата.

• J.H. van Lint, R.M. Wilson: A Course in Combinatorics. Cambridge University Press 1992,ISBN 0-521-42260-4
• C.F.Laywine,G.L.Mullen: Discrete MathematicsUsing Latin Squares. Wiley & sons inc. 1998, ISBN 0-471-24064-8
• Denes J., Keedwell A.D. Latin squares and their applications. Budapest: Academiai Kiado, 1974. 547p.
• Маркова Е. Д. Руководство по применению латинских планов при планировании эксперимента с качественнями факторами. Челябинск:Южно-Урал. кн. изд--во, 1971. 156с.
• Белоусов В.Д. Элементы теории квазигрупп. Кишинев 1981