Лема Йонеди

В теорії категорій, лема Йонеди — абстрактний результат про властивості функтора Hom. Вона є узагальненням теореми Келі в теорії груп (якщо розглядати групу як категорію з одним об'єктом). Лема дозволяє розглянути вкладення довільної категорії в категорію функторів з неї в Set. Лема Йонеди — важливий інструмент, який дозволив отримати багато важливих результатів в алгебраїчній геометрії і теорії представлень.

Загальний випадок леми

У довільній (локально малій) категорії для даного об'єкта A можна розглянути коваріантний функтор Hom, що позначається

переводить об'єкт у множину морфізмів а морфізм у морфізм (композицію із зліва) що переводить із у морфізм у . Тобто,

.

Нехай F — довільний функтор з C в Set. Лема Йонеди стверджує, що:

для будь-якого об'єкта A категорії C, натуральні перетворення з hA в F знаходяться у взаємно-однозначній відповідності з елементами F(A):

Для даного натурального перетворення Φ з hA в F відповідний елемент F(A) це , тобто натуральне перетворення однозначно визначається образом тотожного морфізма.

Окрім того ізоморфізм у твердженні леми є натуральним щодо об'єктів категорії і функторів з C в Set. А саме для довільного морфізму виконується рівність (де — натуральне перетворення із у F, для якого для визначається ) і для довільного морфізму функторів із C в Set виконується рівність

Контраваріантна версія леми Йонеди розглядає контраваріантний функтор

що відправляє X у множину Hom(X, A). Для довільного контраваріантного функтора G з C в Set

Доведення

Доведення леми Йонеди подано на комутативній діаграмі:

Proof of Yoneda's lemma

Діаграма показує, що натуральне перетворення Φ повністю визначається , оскільки для будь-якого морфізма f: AX

Більш того, ця формула задає натуральне перетворення для будь-якого uF(A). Справді нехай f: AX і g: XY — деякі морфізми. Тоді переводить у і , а також . Тому і введене перетворення є справді натуральним.

Натуральність для об'єктів категорії випливає із рівностей згідно з означенням натурального перетворення і заданням Φ через . Рівність випливає з того, що є морфізмами функторної категорії SetC і тому для них виконується правило композицій.

Доведення контраваріантного випадку є аналогічним.

Вкладення Йонеди

Окремий випадок леми Йонеди — коли функтор F також є функтором Hom. В цьому випадку коваріантна версія леми Йонеди стверджує, що

Відображення кожного об'єкта A категорії C в відповідний hom-функтор hA = Hom(A,-) і кожен морфізм f: BA у відповідне натуральне перетворення Hom(f,-) задає контраваріантний функтор h- з C в SetC (тобто категорію коваріантних функторів із C в Set), або коваріантний функтор

У цій ситуації лема Йонеди стверджує, що h-цілком унівалентний функтор, тобто задає вкладення Cop в категорію функторів в Set. У цих термінах можна також краще зрозуміти значення леми Йонеди. Нехай F — довільний функтор з C в Set, тобто F є об'єктом SetC. Тоді можна ввести F для якого Аналогічно можна ввести F'' і т. д. Лема Йонеди стверджує, що всі ці морфізми є ізоморфними і їх можна вважати одним об'єктом SetC.

У контраваріантному випадку по лемі Йонеди

Отже, h- задає цілком унівалентний коваріантний функтор (вкладення Йонеди)

Зображувані функтори

Функтор F із деякої (локально малої) категорії C в Set називається зображуваним, якщо існує об'єкт A категорії і деякий натуральний ізоморфізм між F і функтором . За означенням зображенням функтора називається вибір деякого об'єкта A і натурального ізоморфізму.

Важливим наслідком леми Йонеди є той факт, що зображення однозначно задається вибором об'єкта A категорії, а також елемента для якого виконується умова: для довільного об'єкта B категорії C і будь-якого елемента існує єдиний морфізм f: AB для якого

Справді з означення зображення функтора випливає однозначний вибір деякого об'єкта A, а згідно леми Йонеди відповідне натуральне перетворення однозначно визначає деякий елемент і тоді для морфізма f: AB виконується рівність Залишається лише довести, що натуральне перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли виконується додаткова умова. Перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли відображення буде бієкцією для всіх об'єктів B. Але тому таке відображення буде бієкцією тоді і тільки тоді, коли для будь-якого елемента існує єдиний морфізм f: AB для якого що і треба було довести.

Література

  • Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Volume 1. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
  • Freyd, Peter (1964). Abelian categories. Harper's Series in Modern Mathematics (вид. 2003 reprint). Harper and Row. Zbl 0121.02103..
  • Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.