Лема Йонеди

У довільній (локально малій) категорії для даного об'єкта A можна розглянути коваріантний функтор Hom, що позначається

${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-).}$

${\displaystyle h^{A}}$ переводить об'єкт ${\displaystyle X}$ у множину морфізмів ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X),}$ а морфізм ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ у морфізм ${\displaystyle f\circ -}$ (композицію із ${\displaystyle f}$ зліва) що переводить ${\displaystyle g}$ із ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ у морфізм ${\displaystyle f\circ g}$ у ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,Y)}$. Тобто,

${\displaystyle h^{A}(f)(g)=f\circ g}$.

Нехай F — довільний функтор з C в Set. Лема Йонеди стверджує, що:

для будь-якого об'єкта A категорії C, натуральні перетворення з h^A в F знаходяться у взаємно-однозначній відповідності з елементами F(A):

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A).}$

Для даного натурального перетворення Φ з h^A в F відповідний елемент F(A) це ${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$, тобто натуральне перетворення однозначно визначається образом тотожного морфізма.

Окрім того ізоморфізм у твердженні леми є натуральним щодо об'єктів категорії і функторів з C в Set. А саме для довільного морфізму ${\displaystyle f\colon A\to B}$ виконується рівність ${\displaystyle Ff(\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}))=(\Phi \circ h^{f})_{B}(\mathrm {id} _{B})}$(де ${\displaystyle \Phi \circ h^{f}}$ — натуральне перетворення із ${\displaystyle h^{B}}$у F, для якого для ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (B,X)}$визначається ${\displaystyle (\Phi \circ h^{f})(g)=\Phi _{A}(g\circ f)\in F(X)}$) і для довільного морфізму ${\displaystyle \theta \colon F\to G}$функторів із C в Set виконується рівність ${\displaystyle \theta _{A}(\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}))=(\theta \circ \Phi )_{A}(\mathrm {id} _{A}).}$

Контраваріантна версія леми Йонеди розглядає контраваріантний функтор

${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A),}$

що відправляє X у множину Hom(X, A). Для довільного контраваріантного функтора G з C в Set

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A).}$

Доведення

Доведення леми Йонеди подано на комутативній діаграмі:

Proof of Yoneda's lemma

Діаграма показує, що натуральне перетворення Φ повністю визначається ${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$, оскільки для будь-якого морфізма f: A → X

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u.}$

Більш того, ця формула задає натуральне перетворення для будь-якого u ∈ F(A). Справді нехай f: A → X і g: X → Y — деякі морфізми. Тоді ${\displaystyle h_{A}(g)}$ переводить ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,X)}$у ${\displaystyle g\circ f\in \mathrm {Hom} (A,Y)}$і ${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u}$, а також ${\displaystyle \Phi _{Y}(g\circ f)=F(g\circ f)u=Fg\circ (Ff)u=(Fg)\Phi _{X}(f)}$. Тому ${\displaystyle \Phi _{Y}(h^{A}(g)(f))=(Fg)\Phi _{X}(f)}$і введене перетворення є справді натуральним.

Натуральність для об'єктів категорії випливає із рівностей ${\displaystyle (\Phi \circ h^{f})_{B}(\mathrm {id} _{B})=\Phi _{B}(\mathrm {id} _{B}\circ f)=Ff(\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}))}$згідно з означенням натурального перетворення ${\displaystyle \Phi \circ h^{f}}$ і заданням Φ через ${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$. Рівність ${\displaystyle \theta _{A}(\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}))=(\theta \circ \Phi )_{A}(\mathrm {id} _{A})}$випливає з того, що ${\displaystyle \theta ,\Phi }$є морфізмами функторної категорії Set^C і тому для них виконується правило композицій.

Доведення контраваріантного випадку є аналогічним.

Окремий випадок леми Йонеди — коли функтор F також є функтором Hom. В цьому випадку коваріантна версія леми Йонеди стверджує, що

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

Відображення кожного об'єкта A категорії C в відповідний hom-функтор h^A = Hom(A,-) і кожен морфізм f: B → A у відповідне натуральне перетворення Hom(f,-) задає контраваріантний функтор h^- з C в Set^C (тобто категорію коваріантних функторів із C в Set), або коваріантний функтор

${\displaystyle h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

У цій ситуації лема Йонеди стверджує, що h^- — цілком унівалентний функтор, тобто задає вкладення C^op в категорію функторів в Set. У цих термінах можна також краще зрозуміти значення леми Йонеди. Нехай F — довільний функтор з C в Set, тобто F є об'єктом Set^C. Тоді можна ввести F для якого ${\displaystyle F'(A)=\mathrm {Nat} (h^{A},F).}$Аналогічно можна ввести F'' і т. д. Лема Йонеди стверджує, що всі ці морфізми є ізоморфними і їх можна вважати одним об'єктом Set^C.

У контраваріантному випадку по лемі Йонеди

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

Отже, h_- задає цілком унівалентний коваріантний функтор (вкладення Йонеди)

${\displaystyle h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

Функтор F із деякої (локально малої) категорії C в Set називається зображуваним, якщо існує об'єкт A категорії і деякий натуральний ізоморфізм між F і функтором ${\displaystyle h^{A}}$. За означенням зображенням функтора називається вибір деякого об'єкта A і натурального ізоморфізму.

Важливим наслідком леми Йонеди є той факт, що зображення однозначно задається вибором об'єкта A категорії, а також елемента ${\displaystyle u\in F(A)}$ для якого виконується умова: для довільного об'єкта B категорії C і будь-якого елемента ${\displaystyle x\in F(B)}$ існує єдиний морфізм f: A → B для якого ${\displaystyle Ff(u)=x.}$

Справді з означення зображення функтора випливає однозначний вибір деякого об'єкта A, а згідно леми Йонеди відповідне натуральне перетворення однозначно визначає деякий елемент ${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$ і тоді для морфізма f: A → B виконується рівність ${\displaystyle \Phi _{B}(f)=(Ff)u.}$Залишається лише довести, що натуральне перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли виконується додаткова умова. Перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли відображення ${\displaystyle \Phi _{B}:\mathrm {Hom} (A,B)\to F(B)}$буде бієкцією для всіх об'єктів B. Але ${\displaystyle \Phi _{B}(f)=(Ff)u,}$тому таке відображення буде бієкцією тоді і тільки тоді, коли для будь-якого елемента ${\displaystyle x\in F(B)}$ існує єдиний морфізм f: A → B для якого ${\displaystyle Ff(u)=x,}$ що і треба було довести.

• Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Volume 1. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
• Freyd, Peter (1964). Abelian categories. Harper's Series in Modern Mathematics (вид. 2003 reprint). Harper and Row. Zbl 0121.02103..
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.