Лема Ріса

Нехай Y — замкнутий лінійний підпростір нормованого простору X. Тоді для довільного дійсного числа, такого що 0 < α < 1 існує такий елемент x ∈ X, що

${\displaystyle \|x\|=1}$

і також

${\displaystyle \|x-y\|>\alpha }$

для всіх y ∈ Y. Іншими словами

${\displaystyle d(x,Y)>\alpha }$,

де d(x, Y) позначає відстань елемента x від множини Y щодо норми нормованого простору X.

• Нехай елемент v ∈ X \ Y і також позначимо

${\displaystyle a=d(v,Y)=\inf _{y\in Y}\|v-y\|.}$

Оскільки підпростір Y є замкнутим, то a > 0. З визначення інфімуму випливає існування такого елемента y₀ ∈ Y, що

${\displaystyle a\leqslant \|v-y_{0}\|<{\frac {a}{\alpha }}.}$

Нехай x = c(v — y₀), де

${\displaystyle c={\frac {1}{\|v-y_{0}\|}}.}$

Норма елемента x рівна 1. Окрім того, для кожного y ∈ Y

${\displaystyle \|x-y\|=\|c(v-y_{0})-y\|=c\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|.}$

Оскільки

${\displaystyle y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y\in Y,}$

то також

${\displaystyle \|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|\geqslant a.}$

Отже,

${\displaystyle \|x-y\|=c\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|\geqslant ca={\frac {a}{\|v-y_{0}\|}}>{\frac {a}{a/\alpha }}=\alpha ,}$

що завершує доведення.

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 496 с.