Лема Ріса

Лема Ріса — твердження в функціональному аналізі про властивості лінійних замкнутих просторів у нормованому просторі. Названа на честь угорського математика Фридєша Ріса, що опублікував доведення у випадку гільбертових просторів у 1918 році[1].

Твердження

Нехай Y — замкнутий лінійний підпростір нормованого простору X. Тоді для довільного дійсного числа, такого що 0 < α < 1 існує такий елемент xX, що

і також

для всіх yY. Іншими словами

,

де d(x, Y) позначає відстань елемента x від множини Y щодо норми нормованого простору X.

Доведення

  • Нехай елемент vX \ Y і також позначимо
Оскільки підпростір Y є замкнутим, то a > 0. З визначення інфімуму випливає існування такого елемента y0Y, що
Нехай x = c(v y0), де
Норма елемента x рівна 1. Окрім того, для кожного yY
Оскільки
то також
Отже,
що завершує доведення.

Примітки

  1. Frigyes Riesz, Über lineare Funktionalgleichungen, Acta Math., 41 (1918), 71–98.

Література

  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 496 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.