Логарифмічний розподіл

Нехай розподіл випадкової величини ${\displaystyle Y}$ задається функцією ймовірності:

${\displaystyle p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}},\;k=1,2,3,\ldots }$,

де ${\displaystyle 0<p<1}$.

Тоді кажуть, що ${\displaystyle Y}$ має логарифмічний розподіл з параметром ${\displaystyle p}$. Пишуть: ${\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Log} (p)}$. Функція розподілу випадкової величини ${\displaystyle Y}$ кусково-постійна зі стрибками в натуральних точках:

${\displaystyle F_{Y}(y)=\left\{{\begin{matrix}0,&y<1&\\1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}},\;&y\in [k,k+1),\;&k=1,2,3,\ldots \end{matrix}}\right.}$,

де ${\displaystyle \mathrm {B} _{p}}$ — неповна бета-функція.

Те, що функція ${\displaystyle p_{Y}(k)}$ дійсно є функцією ймовірності деякого розподілу, випливає з розкладу логарифма в ряд Тейлора:

${\displaystyle \ln(1-p)=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[-{\frac {p^{k}}{k}}\right],\;0<p<1}$,

звідки

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }p_{Y}(k)=1}$.

Твірна функція моментів випадкової величини ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Log} (p)}$ задається формулою

${\displaystyle M_{Y}(t)={\frac {\ln \left[1-pe^{t}\right]}{\ln[1-p]}}}$,

звідки

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [Y]=-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}.}$

Пуассонівська сума незалежних логарифмічних випадкових величин має від'ємний біноміальний розподіл. Нехай ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$ послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, таких що ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Log} (p),\;i=1,2,\ldots }$. Нехай ${\displaystyle N\sim \mathrm {P} (\lambda )}$ — Пуассонівська випадкова величина. Тоді

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {NB} .}$