Лінійно зв'язний простір

• Розглянемо відрізок числової прямої ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$ з визначеною на ньому стандартної топологією дійсної прямої. Нехай також дано топологічний простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$ Тоді останній називається лінійно зв'язаним, якщо для будь-яких двох точок ${\displaystyle x,y\in X}$ знайдеться неперервне відображення ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ таке, що

  ${\displaystyle f(0)=x,\;f(1)=y.}$

• Нехай дана підмножина ${\displaystyle M\subset X}$. Тоді на ньому природним чином визначається топологія ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{M}}$, індукована ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Якщо простір ${\displaystyle \left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)}$ лінійно зв'язаний, то підмножина ${\displaystyle M}$ також називається лінійно зв'язаною у ${\displaystyle X}$.

• Будь-який лінійно зв'язний простір зв'язний.
• Зворотне невірно; наприклад замикання графіка функції ${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{x}}}$ зв'язне, але лінійних не складно (ця множина містить відрізок ${\displaystyle [-1,1]}$ на осі ординат).
• Неперервний образ лінійно зв'язного простору лінійно зв'язна.
• Якщо простір X лінійно зв'язний і ${\displaystyle x,\;y\in X}$, то гомотопічні групи ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;x)}$ і ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;y)}$ ізоморфні, причому цей ізоморфізм визначається однозначно з точністю до внутрішнього автоморфізму ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;x)}$.

Будемо вважати, що ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — стандартна топологія числової прямої. Тоді

• Підмножина ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} }$ лінійно зв'язна тоді і тільки тоді, коли

  ${\displaystyle \forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr )},}$

тобто будь-які дві точки входять до нього разом із з'єднучим їх відрізком.

• Будь-яка лінійно зв'язна підмножина числової прямої є кінцевим або нескінченним, відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом:

  ${\displaystyle (a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\;b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ).}$

• Підмножина числової прямої лінійно зв'язна тоді і тільки тоді, коли вона зв'язна.

Багатовимірним узагальненням лінійної зв'язності є k-зв'язність (зв'язність у розмірності ${\displaystyle k}$). Простір ${\displaystyle X}$ називається зв'язаним у розмірності ${\displaystyle k}$, якщо будь-яке відображення r-мірної сфери ${\displaystyle S^{r}}$ в ${\displaystyle X}$, де ${\displaystyle r\leqslant k}$, гомотопно постійному відображенню.

Зокрема, лінійно зв'язний простір це 0-зв'язне простір, тобто будь-яке відображення двокрапки (тобто нульмерной сфери) гомотопно постійному відображенню.