Математична морфологія
Математична морфологія — (Морфологія від грец. μορφή «форма» и λογία «наука») — наука, яка вивчає методи і алгоритми аналізу і обробки геометричних структур, основана на теорії множин, топології і випадкових функцій. Застосовується при обробці цифрових зображень, але також може бути застосована до графів, полігональної сітки, стереометрії і багатьох інших просторових структур.
Інші визначення:
Математична морфологія (фізика) — методи аналізу сигналу на основі теорії множин, що спрямовані на вивчення відносин між фізичними і структурними властивостями.[1]
Математична морфологія (теорія обробки сигналів) — нелінійний спосіб обробки сигналів на основі операцій виділення мінімумів і максимумів.[1]
Структурний елемент
Морфологічні операції виконуються над двома зображеннями: вхідним зображенням і спеціальним, яке залежить від операції і типу виконуваної задачі. Таке спеціальне зображення в математичній морфології називається структурним елементом або примітивом. Структурний елемент являє собою деяке двійкове зображення (геометричну форму). Він може бути довільного розміру і структури, але за звичай розмір такого зображення має розмір 3x3, 4x4, 5x5 пікселів, тобто значно менше вхідного зображення.[2] Частіше за все використовуються симетричні елементи, такі як прямокутник фіксованого розміру чи круг заданого діаметра. В кожному елементі виділяють особливу точку, яку називають початковою (origin). Вона може вибиратися в будь-якому місці зображення, але найчастіше це центральний піксель.
Ось декілька елементів, які широко застосовуються на практиці (позначені як B):
- Нехай ; B диск з заданим радіусом r, початковою точкою якого є центр диску.
- Нехай ; B прямокутник 3x3, який описується в так: B={(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)}.
- Нехай ; B це "хрест" який задається як: B={(-1,0), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,0)}.
Приклади частовживаних структурних елементів:
Основні операції
Основними операціями математичної морфології є:
- трансляція (перенесення) — зсуває зображення на задану кількість пікселів;
- дилація (розширення) — збільшує область зображення;
- ерозія (звуження) — зменшує область зображення;
- розкриття (спочатку звуження, потім розширення) — вилучає виступи на межах об'єктів;
- закриття (спочатку розширення, потім звуження) — заповнює отвори всередині й на межах.
Перенос
Перенос множини пікселів A на заданий вектор s визначається як:
- , .
Перенос можна визначити за допомогою упорядкованої пари чисел (х,у), де x – кількість пікселів зміщення вздовж осі X, а y – рух вздовж осі Y.
Ерозія
Для двох множин A і B з простотру ерозія множини A по структурному елементу B визначається як:
- ,
Інакше кажучи, ерозія множини A по примітиву B, це таке геометричне місце точок для всіх таких позицій точок центру z, при зсуві яких множина B цілком міститься в A.
Дилація
Дилація множини A по множині B визначається як:
При цьому дилація множини A по структурному елементу B це множина всіх таких переміщень z, при яких множини A і B збігаються принаймні в одному елементі.
Дилація є комутативною функцією, тобто має місце наступний вираз:
- .
Розкриття
Розкриття множини A по структурному елементу B позначається як і визначається виразом:
- .
Таким чином, розкриття множини A про структурному елементу B знаходиться як ерозія A по B, результат котрої піддається дилації по тому ж структурному елементу B. В загальному випадку розкриття згладжує контури об'єкту, усуває вузькі перешийки і ліквідує виступи невеликої ширини.
Закриття
Закриття множини A по структурному елементу B позначається як і отримується шляхом виконання операції дилації множини A по структурному елементу B, за котрою слідує операція ерозії результуючої множини по структурному елементу B. Закриття визначається наступним виразом:
- .
В результаті операції закриття відбувається згладження відрізків контурів, але, на відміну від розкриття, в загальному випадку заповнюються невеликі розриви і довгі заглибини малої ширини, а також ліквідуються невеликі отвори і заповнюються проміжки контуру.
Примітки
- Online course on mathematical morphology, by Jean Serra (in English, French, and Spanish)
- Обработка изображений методами математической морфологии в ассоциативной осцилляторной среде. И.В. Огнев, Н.А. Сидорова. 2007