Метод прямокутників

Метод прямокутників — найпростіший метод чисельного інтегрування, що полягає у заміні значень функції на проміжку значенням функції в деякій точці проміжку.

Види формули прямокутників

Формула лівих прямокутників

У цьому випадку береться значення функції на початку проміжку:

\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f\left(a\right).

Похибка обчислення рівна: $E(f)={\frac {(b-a)^{2}}{2}}f'(\eta ),\quad \eta \in [a,b]$

Формула правих прямокутників

У цьому випадку береться значення функції в кінці проміжку:

\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f\left(b\right).

Як і в попередньому випадку похибка обчислень рівна: $E(f)={\frac {(b-a)^{2}}{2}}f'(\eta ),\quad \eta \in [a,b]$

Формула центральних прямокутників

Ця формула має вид:

\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).

Похибка обчислень рівна: $E(f)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\eta ),\quad \eta \in [a,b]\,$

Великі формули прямокутників

Для збільшення точності обчислень проміжок інтегрування розбивається на дрібніші проміжки до кожного з яких застосовується формула прямокутників. Загалом кількість проміжків розбиття рівна n і Δ = (b − a) / n то велика формула прямокутників має вигляд:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(a+i'\Delta )\Delta

де $i'$ може бути рівним $i-1$ , $i$ чи $i-1/2,$ що відповідає формулам лівих, правих і центральних прямокутників.

Метод центральних прямокутників

Похибка великої формули центральних прямокутників задовольняє нерівність:

E(f)\leq {\frac {\Delta ^{2}(b-a)}{24}}f''(\eta ),\quad \eta \in [a,b]\,

Див. також

Посилання

Формула прямокутників // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 448. — 594 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.