Чисельне інтегрування

Задача чисе́льного інтегрува́ння полягає в знаходженні приблизного значення інтегралу

${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}f(x)dx,}$

де ${\displaystyle f(x)}$ — задана функція[1].

На відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ вводиться сітка ${\displaystyle \omega =\{x_{i}:\;x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{i}<x_{i+1}<\dots <x_{N}=b\}}$, і як наближене значення інтегралу розглядається число

${\displaystyle J_{N}[f]=\sum _{i=0}^{N}c_{i}f(x_{i}),}$

де ${\displaystyle f(x_{i})}$ значення функції ${\displaystyle f(x)}$ у вузлах ${\displaystyle x=x_{i}}$, ${\displaystyle c_{i}}$ — вагові множники (ваги), що залежать лише від вузлів, але не залежать від вибору ${\displaystyle f(x)}$. Ця формула називається квадратурною формулою.

Задача чисельного інтегрування з допомогою квадратур полягає в знаходженні таких вузлів ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ і таких ваг ${\displaystyle \{c_{i}\}}$, щоб похибка квадратурної формули

${\displaystyle D_{N}[f]=\sum _{i=0}^{N}c_{i}f(x_{i})-\int _{a}^{b}f(x)dx=J_{N}[f]-J[f]}$

була мінімальною для функцій із заданого класу[1].