Метод Сімпсона

Формулою Сімпсона називається інтеграл від інтерполяційного многочлена другого степеня на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle {\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\int \limits _{a}^{b}{p_{2}(x)}dx}={\frac {b-a}{6}}{\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)},}$

де ${\displaystyle f(a)}$, ${\displaystyle f((a+b)/2)}$ і ${\displaystyle f(b)}$ — значення функції у відповідних точках .

При умові, що функція ${\displaystyle f(x)}$ на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ має похідну четвертого порядку, похибка ${\displaystyle E(f)}$, дорівнює:

${\displaystyle E(f)=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}{f^{(4)}(\zeta )},\ \ \ \zeta \in [a,b].}$

Зважаючи, що значення ${\displaystyle \zeta }$ переважно не є відомим, для оцінки похибки використовується нерівність:

${\displaystyle \left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\max \limits _{x\in [a,b]}{\left|f^{(4)}(x)\right|}.}$

Формула Сімпсона може бути виведена за допомогою багатьох різних способів.

Для точнішого обчислення інтеграла проміжок ${\displaystyle [a,b]}$ розбивають на ${\displaystyle N}$ відрізків однакової довжини і застосовують формулу Сімпсона на кожному з них. Значення інтеграла є сумою для всіх відрізків.

${\displaystyle {\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}\cdot \left({\frac {1}{2}}f(x_{0})+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})+2\sum _{k=1}^{N}f\left({\frac {x_{k-1}+x_{k}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}f(x_{N})\right)}$

де ${\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}$ величина кроку, а ${\displaystyle x_{k}=a+k\cdot h}$ межі відрізків.

Загальну похибку ${\displaystyle E(f)}$ при інтегруванні на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ з кроком ${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}=h}$ визначають за формулою:

${\displaystyle \left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)}{2880}}h^{4}\max \limits _{x\in [a,b]}|f^{(4)}(x)|}$.

При неможливості оцінити похибку за допомогою четвертої похідної можна використати слабшу оцінку:

${\displaystyle \left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)}{288}}h^{3}\max \limits _{x\in [a,b]}|f^{(3)}(x)|}$.

Реалізація на C#:

using System;

namespace NumericIntgeration
{
    internal class Program
    {
        private delegate double Func(double x);

        private static void Main()
        {
            const int n = 10000;
            double result = SimpsonMethod(0.0, 2.0, n, x => x * Math.Exp(Math.Sqrt(x)));
            Console.WriteLine("x = {0}", result);

            Console.ReadKey();
        }
        private static double SimpsonMethod(double a, double b, int n, Func func)
        {
            double h = (b - a) / n;
            double s = (func(a) + func(b)) * 0.5;
            for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
            {
                double xk = a + h * i; //xk
                double xk1 = a + h * (i - 1); //Xk-1
                s += func(xk) + 2 * func((xk1 + xk) / 2);
            }
            var x = a + h * n; //xk
            var x1 = a + h * (n - 1); //Xk-1
            s += 2 * func((x1 + x) / 2);

            return s * h / 3.0;
        }
    }
}

• Чисельне інтегрування
• Метод прямокутників
• Метод трапецій

• Формула парабол (формула Сімпсона) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 450. — 594 с.