Множина (тип даних)

Визначають такі операції алгебри множин: 

• union(S,T): повертає об’єднання множин S і T.
• intersection(S,T): повертає перетин множин S і T.
• difference(S,T): повертає різницю множин S і T.
• subset(S,T): предикат, що перевіряє чи є множина S підмножиною множини T. 

Типові операції, які задаються статичною структурою множини S: 

• is_element_of(x,S): перевіряє входження значення X у множину S.
• is_empty(S): перевіряє чи є множина S порожньою.
• size(S) або cardinality(S): повертає число елементів S множини. 
• iterate(S): функція, що повертає один довільно вибраний елемент множини S при кожному виклику.
• enumerate(S): повертає у довільному порядку список елементів, які містяться у множини S.
• build(${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$): створює множину зі значеннями ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$.
• create_from(collection): створює нову множину, яка містить у собі всі елементи даної сукупності або всі елементи, повернуті ітератором.

Динамічні структури зазвичай додають: 

• create(): створює нову, спочатку порожню множину.
• create_with_capacity(n): створює нову, спочатку порожню множину, але розмірністю n. 
• add(x,S): додає елемент x до множини S, якщо такого ще не існує
• remove(S,x): видаляє елемент x із множини S, якщо існує.
• capacity(S): повертає максимальне число елементів, яке може містити S.

Деякі множинні структури можуть дозволити собі використовувати лише деякі із цих операцій.  Потреба кожної операції буде залежати від реалізації, а також конкретних значень, що входять до множини, і порядку, у якому вони розташовані у множині. 

Існує багато інших операцій, що можуть бути визначені щодо термінів вище, такі як:

• pop(S): повертає довільно вибраний елемент множини S, і видаляє його з S.
• pick(S): повертає довільно вибраний елемент множини S. З функціональної точки зору мутатор рор може бути інтерпретований як пара селекторів (pick, rest) де rest повертає множину, що включає в себе усі елементи, окрім вибраного.
• map(F,S): повертає множину різних значень, отриманих від F до кожного елемента S.
• filter(P,S): повертає підмножину елементів, що містяться у S, та задовольняють даний предикат P.
• fold(A${\displaystyle _{0}}$,F,S): повертає значення A, після застосування формули ${\displaystyle A_{i+1}:=F(A_{i},e)}$ для кожного елемента e у S, для деякої бінарної операції F. F повинна бути асоціативною і комунікативною, для того, щоб бути чітко визначеною. 
• clear(S): видаляє усі елементи S.
• equal(S${\displaystyle _{1}}$, S${\displaystyle _{2}}$): перевіряє чи є дві множини рівними (тобто мають усі однакові елементи).
• hash(S): повертає хеш-значення для статичної множини S, таке, якщо equal(S${\displaystyle _{1}}$,S${\displaystyle _{2}}$) тоді hash(S${\displaystyle _{1}}$) = hash(S${\displaystyle _{2}}$).

Операції для множин, що містять елементи спеціального типу:

• sum(S): повертає суму усіх елементів множини S, для деякого визначення суми. Наприклад, сума для цілих або дійсних чисел може бути визначена так: fold(0, add, S).
• collapse(S): дано множину множин, повертає об’єднання ряду множин. Наприклад, collapse({{1}, {2, 3}}) == {1, 2, 3} може розглядатись як сума.
• flatten(S): дано множину, що складається із множин і атомних елементів (елементи, що не є множиною), повертає множину, елементи якої є початковою множиною верхнього рівня або елементи множини, які входять до цієї множини. Іншими словами, видаляє рівень вкладеності, такий як: collapse але дозволяє атоми. Це може бути зроблено один раз або декілька разів, для того, щоб отримати множину тільки атомних елементів. Наприклад, flatten({1, {2, 3}}) == {1, 2, 3}.
• nearest(S,x): повертає елемент множини S, що є найближчим до значення x.
• min(S), max(S): повертає мінімальний/максимальний елементи множини S.