Клас еквівалентності

• Множина всіх класів еквівалентності множини ${\displaystyle S}$ називається фактор-множиною і є розбиттям множини ${\displaystyle S.}$

• Кожен елемент x з X є членом класу еквівалентності [x]. Кожні два класи еквівалентності [x] і [y] або дорівнюють, або не перетинаються. Таким чином, множина всіх класів еквівалентності X утворює розбиття множини X: кожен елемент X належить одному і тільки одному класу еквівалентності.
• x ~ y, тоді і тільки тоді, коли x і y належать до одного і того ж самого розділу множини.

З властивостей відношення еквівалентності випливає, що

x ~ y, тоді і тільки тоді, коли [x] = [y].

Іншими словами, якщо ~ є відношення еквівалентності на множині X, то ці твердження еквівалентні:

• ${\displaystyle x\sim y}$
• ${\displaystyle [x]=[y]}$
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset }$.

Відношення еквівалентності є бінарним відношенням, яке має три властивості:

• Для кожного елемента a із X, a ~ a (рефлексивність),
• Для кожних двох елементів a і b з X, якщо a ~ b, то і b ~ a (симетрія)
• Для кожних трьох елементів a, b і c з X, якщо a ~ b і b ~ c, то a ~ c (транзитивність).

Клас еквівалентності елемента a позначається [a] і може визначатися як множина.

${\displaystyle [a]=\{x\in X\mid a\sim x\}}$

Альтернативне позначення [a]_R може бути використане для позначення класу еквівалентності елемента зокрема у відношенні R. Це називається R-класу еквівалентність. Множина всіх еквівалентних класів в X даного відношення еквівалентності позначається як X/~ і називається фактор-множина X на ~. Кожне відношення еквівалентності має канонічну проекцію, сюр'єктивну функцію π з X де X/~ задано π(x) = [x].

• Якщо X є множиною всіх автомобілів, і ~ є відношенням еквівалентності «має той же колір», то кожен клас еквівалентності складається з автомобілів однакового кольору. Наприклад, всі зелені автомобілі належать одному класу. Кількість класів X/~ дорівнює числу всіх кольорів автомобілів.

• Розглянемо відношення еквівалентності на множині ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел: x ~ y, тоді і тільки тоді, коли їх різниця x − y парне число. Це співвідношення призводить до двох класів еквівалентності: один клас, що складається з усіх парних чисел, та другий, який складається з усіх непарних чисел. Клас парних чисел позначається, як [0], непарних як [1]. Згідно з цим співвідношенням [7], [9], та [117] належать одному класу — [1].

• Нехай X множина впорядкованих пар цілих чисел (a,b), де b не дорівнює нулю, і характеризує відношення еквівалентності ~ на X. Відповідно до якого (a,b) ~ (c,d), тоді і тільки тоді, коли ad = bc. Класу еквівалентності пари (a,b) можна поставити у відповідність раціональне число a/b, таким чином, це відношення еквівалентності і його класи еквівалентності можуть бути використані як формальне визначення множини раціональних чисел. Наприклад, еквівалентним парам (1,3), (2,6), (5,15), відповідає рівність дробів ${\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {2}{6}}={\frac {5}{15}}}$.

• Відношення рівності за модулем (${\displaystyle \ a\equiv b{\pmod {n}},\ a,b\in \mathbb {Z} }$) на множині цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ є відношенням еквівалентності. Класи еквівалентності ${\displaystyle {\overline {a}}_{n}=\left\{a,a\pm n,a\pm 2n,a\pm 3n,\ldots \right\}.}$
• Нехай дане число ${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\cdot \cdot \cdot a_{3}a_{2}a_{1},}$ де ${\displaystyle a_{i}=0,1,2,...,9.}$ Тоді всяку групу цифр ${\displaystyle a_{i+2}a_{i+1}a_{i},i\equiv 1{\pmod {3}}}$ називають класом. Група цифр ${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}}$ — перший клас (клас одиниць), ${\displaystyle a_{6}a_{5}a_{4}}$ — другий клас (клас тисяч) тощо.
• Нехай ${\displaystyle H}$ є підгрупою групи ${\displaystyle G.}$ У групі ${\displaystyle G}$ діє закон еквівалентності: ${\displaystyle x\sim y,}$ якщо ${\displaystyle xy^{-1}\in H}$. Виникає клас суміжності групи ${\displaystyle G}$ по групі ${\displaystyle H}$.

Відображення

${\displaystyle p\colon x\mapsto C_{x}}$

називається природним відображенням (або канонічної проекцією) ${\displaystyle X}$ на фактор-множину ${\displaystyle X/{\sim }}$. Нехай ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ — множини, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$- відображення, тоді бінарне відношення ${\displaystyle x\,{R_{f}}\,y}$ визначене правилом

${\displaystyle x\mathop {R_{f}} y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X}$

є відношенням еквівалентності на ${\displaystyle X}$. При цьому відображення ${\displaystyle f}$ індукує відображення ${\displaystyle {\overline {f}}\colon X/R_{f}\to Y}$, яке визначається правилом

${\displaystyle {\overline {f}}(C_{x})=f(x)}$

або, що те ж саме,

${\displaystyle ({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)}$.

При цьому виходить факторизація відображення ${\displaystyle f}$ на сюр'єктивне відображення ${\displaystyle p}$ і ін'єктивне відображення ${\displaystyle {\overline {f}}}$.

• Фактор-множина
• Фактор-структура
• Теореми про ізоморфізми

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)

• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)