Модальна логіка

Мода́льна ло́гіка — це розділ сучасної логіки, де вивчаються модальні висловлювання та їхні відношення в структурі міркувань. Залежно від того, які види модальних висловлювань досліджуються, виділяють різні види модальних логік. Найпоширеніші — часові («колись у майбутньому», «завжди в минулому», «завжди» тощо) і просторові («тут», «десь», «близько» тощо). Наприклад, модальна логіка здатна оперувати твердженнями на кшталт «Київ завжди був столицею України» або «Харків колись у минулому був столицею України», які неможливо або вкрай складно виразити в немодальній мові. Окрім часових і просторових модальностей є й інші, наприклад «відомо, що» (логіка знання) або «можна довести, що» (логіка довідності).

Зазвичай для позначення модального оператора використовується $\Box$ і двоїстий до нього $\diamondsuit$ :

$\diamondsuit A=\neg \Box \neg A$

Це відображає те, що сказати: «Київ колись був столицею України», — те ж саме, що сказати: «не вірно, що Київ ніколи не був столицею України».

Модальності

Алетичні модальні поняття:

Логічні
- L — необхідно
- M — можливо
- С — випадково
Фактичні
- $\Box$ — необхідно
- $\Diamond$ — можливо
- $\triangle$ — випадково

Деонтичні (дав.-гр. deon, deontos — належне, необхідне) модальні поняття:
- обов'язково
- дозволено
- заборонено

Логіку деонтичних модальностей розробив фінський філософ Георг фон Врігт

Аксіологічні (дав.-гр. axios — цінність) модальні поняття:
- добре
- нейтрально
- погано

Аксіологічну логіку розробив філософ А. А. Івін.

Епістемічні (дав.-гр. episteme — знання) модальні поняття:
- знання
- припущення
- незнання

Епістемічну логіку розроблено Яакко Гінтікка.

Часові:
- минуле
- теперішнє
- майбутнє

Просторові:
- там
- тут
- ніде

Семантика

В математичній логіці й інформатиці найпоширенішою є семантика Кріпке, також існують алгебраїчна семантика, топологічна семантика та ряд інших.

Синтаксис

Модальна форма визначається рекурсивно як слово в алфавіті, складене із зліченної множини пропозіційних змінних $PL$ , класичних зв'язок $\to ,\bot$ , дужок $(,)$ і модального оператора $\Box$ . А саме, формулою є

1.  $p$  для будь-якого  $p\in PL$ 
2.  $\bot$ 
3.  $(A\to B)$ , якщо  $A$  і  $B$  - формули.
4.  $(\Box A)$ , якщо  $A$  - формула.

Нормальною модальною логікою називається множина модальних формул, що містить всі класичні тавтології, аксіому нормальності

 $\Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)$

і замкнута щодо правил Modus ponens ${\frac {A,A\to B}{B}}$ , підстановки ${\frac {A(p)}{A(B)}}$ і введення модальності ${\frac {A}{\Box A}}$ .

Мінімальна нормальна модальна логіка позначається $K$ .

Конференції з модальної логіки

Advances in Modal Logic (AiML) проводиться раз за 2 роки Methods for Modalities (M4M) — також

Література

Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997
Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.— CambridgeUniversity Press, 2002
Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. — М.: Наука, 1976. — 720 с

Див. також

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.