Модель Прайса

Розглянемо орієнтований граф з n вузлами. Нехай ${\displaystyle p_{k}}$ позначає частку вузлів з k ступенями і ${\displaystyle \sum _{k}{p_{k}}=1}$. Кожен новий вузол має вихідні ступені (а саме ті документи, на які він посилається) і він зафіксований в довгостроковій перспективі. Це не означає, що ступені можуть не відрізнятися між вузлами, просто ми припускаємо, що це означає ступінь m фіксується з плином часу. Зрозуміло, що ${\displaystyle \sum _{k}{kp_{k}}=m}$, отже m не обмежений цілими числами. Сама тривіальна форма вибіркового прикріплення означає, що новий вузол підключається до вузла, що існує, пропорційно його ступеню. Іншими словами, новий документ посилається на документ, який вже існує пропорційно до його ступеня. Нюанс такої ідеї полягає в тому, що ніяка нова стаття не цитується, коли він приєднався до мережі, тому він буде мати нульову ймовірність цитуються в майбутньому (коли є не обов'язково, як це відбувається). Щоб подолати це, Прайс запропонував, що вкладення повинні бути пропорційні деяким з констант. В цілому може бути довільним, але Прайс пропонує у цьому сенсі початкове цитування пов'язане з самим документом (тому коефіцієнт пропорційності тепер k + 1 замість k). Ймовірність нової грані підключитись до будь-якого вузла зі ступенем k є

${\displaystyle {\frac {(k+1)p_{k}}{\sum _{k}(k+1)p_{k}}}={\frac {(k+1)p_{k}}{m+1}}}$

Наступним питанням є зміни в мережі кількості вузлів зі ступенем k при додаванні нових вузлів мережі. Природно, це число зменшується, так як деякі k-ступеневі вузли мають нові грані, звідси стає (k + 1)-ступеневі вузли; але, з іншого боку, це число теж зростає, так як деякі (k − 1)-ступеневі вузли можуть отримати нові грані, стаючи k-ступеневими вузлами. Щоб виразити цю зміну мережі формально, позначимо частку k-ступеневих вузлів в мережі з n вершинами як ${\displaystyle }$:

${\displaystyle (n+1)p_{k,n+1}-np_{k,n}=[kp_{k-1,n}-(k+1)p_{k,n}]{\frac {m}{m+1}}{\text{ for }}k\geq 1,}$

і

${\displaystyle (n+1)p_{0,n+1}-np_{0,n}=1-p_{0,n}{\frac {m}{m+1}}{\text{ for }}k=0.}$

Для отримання стаціонарного рішення для ${\displaystyle p_{k,n+1}=p_{k,n}=p_{k}}$ спочатку дозвольте виразити ${\displaystyle }$ використовуючи відомі майстер-рівняння метод, як

${\displaystyle p_{k}={\begin{cases}[kp_{k-1}-(k+1)p_{k}]{\frac {m}{m+1}}&{\text{for }}k\geq 1\\1-p_{0}{\frac {m}{m+1}}&{\text{for }}k=0\end{cases}}}$

Після деяких маніпуляцій, вираз вище буде мати вигляд

${\displaystyle p_{0}={\frac {m+1}{2m+1}}}$

і

${\displaystyle p_{k}={\frac {k!}{(k+2+1/m)\cdots (3+1/m)}}p_{0}=(1+1/m)\mathbf {B} (k+1,2+1/m),}$

з ${\displaystyle \mathbf {B} (a,b)}$, що є бета-функція. Як наслідок, ${\displaystyle p_{k}\sim k^{-(2+1/m)}}$. Це рівнозначно тому, що ${\displaystyle p_{k}}$ слідує степеневому закону розподілу з показником ${\displaystyle \alpha =2+1/m}$. Як правило, це показник між 2 і 3, що характерно для багатьох реальних мереж. Прайс протестував свою модель шляхом порівняння з даними мереж посилань і прийшли до висновку, що в результаті можливо зробити досить хороший розподіл за степеневим законом.

Зрозуміло, як узагальнити наведені вище результати на випадок, коли ${\displaystyle k_{0}\neq 1}$. Елементарні розрахунки показують, що

${\displaystyle p_{k}={\frac {m+k_{0}}{m(k_{0}+1)+k_{0}}}{\frac {\mathbf {B} (k+k_{0},2+k_{0}/m)}{\mathbf {B} (k_{0},2+k_{0}/m)}},}$

Що ще раз дає розподіл за степеневим законом ${\displaystyle p_{k}}$ з таким же показником ${\displaystyle \alpha =2+k_{0}/m}$ для великих k і фіксованого ${\displaystyle k_{0}}$.