Модель Барабаші — Альберт

Степеневий розподіл у моделі БА є безмасштабним, точніше підпорядковується степеневим законом

Розподіл степенів моделі БА, яке підпорядковується степеневим законом. У логарифмічному масштабі степенева функція являє собою пряму лінію.[2]

${\displaystyle P\left(k\right)\sim k^{-3}}$

Середня довжина шляху в моделі БА збільшується в середньому, як логарифм розміру мережі. Точна форма має подвійну логарифмічну поправку[1] і виглядає, як:

${\displaystyle \ell \sim {\frac {\ln N}{\ln \ln N}}.}$

Модель БА має систематично коротший середній шлях, ніж випадковий граф.

Кореляції степенів сполучених вузлів розвиваються випадковим чином в моделі БА, через особливості розвитку мережі. Ймовірність знаходження зв'язку між вузлами зі ступенями і в моделі БА представлена, як:

${\displaystyle n_{k\ell }={\frac {4\left(\ell -1\right)}{k\left(k+1\right)\left(k+\ell \right)\left(k+\ell +1\right)\left(k+\ell +2\right)}}+{\frac {12\left(\ell -1\right)}{k\left(k+\ell -1\right)\left(k+\ell \right)\left(k+\ell +1\right)\left(k+\ell +2\right)}}.}$

Звичайно ж, результат буде іншим, якщо розподіл був не корельованим , ${\displaystyle n_{k\ell }=k^{-3}\ell ^{-3}}$.

Поки що немає аналітичних значень коефіцієнта кластеризації моделі БА. Коефіцієнти кластеризації, отримані емпіричним шляхом, в загальному випадку значно вище для моделі БА, ніж для випадкових мереж. Коефіцієнт кластеризації також залежить від розміру мережі згідно наближеному степеневим законом:

${\displaystyle C\sim N^{-0.75}.}$[1]

Це поведінка все ж відрізняється від поведінки малих мереж, де кластеризація не залежить від розміру мережі. У випадку ієрархічних мереж, кластеризація як функція ступеня вузла також підпорядковується степеневим законом:

${\displaystyle C(k)=k^{-1}.}$

Дані результати були аналітично отримані Дороговцевим, Гольцевим  і Мендесом.[3]

Форма спектральної щільності моделі БА відрізняється від напівкруглої спектральної щільності випадкового графу. Вона має трикутну форму з вершиною, що лежить значно вище півкола, а краї спадають за степеневим законом.

Модель А зберігає зростання, але не включає принцип переважного приєднання. Ймовірність приєднання нового вузла до наявних скрізь однакова. Кінцевий розподіл ступенів у цьому випадку говорить про те, що зріст сам по собі недостатній для отримання безмасштабної структури.

Модель B зберігає принцип переважного приєднання, але виключає зростання. Модель починається з фіксованого числа роз'єднаних вузлів і додає зв'язку, переважно вибираючи точками призначення вузли з високим ступенем. Хоча розподіл ступенів початку моделювання виглядає безмасштабним, воно нестабільне, і зрештою стає близьким до гаусового, коли мережа наближається до насичення. Таким чином принцип ПП сам по собі недостатній для створення безмасштабної структури.[1]

Провал моделей А і B при отриманні безмасштабного розподілу говорить про те, що зростання та ПП однаково необхідні для відтворення стаціонарного степеневого розподілу, досліджуваного в мережах реального світу