Невизначена ортогональна група

Невизначена ортогональна група ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ — це група Лі всіх лінійних перетворень n-вимірного дійсного векторного простору, які залишають інваріантною невироджену симетричну білінійну форму з сигнатурою ${\displaystyle (p,q)}$, де ${\displaystyle n=p+q}$. Розмірність групи дорівнює ${\displaystyle n(n-1)/2}$.

Невизначена спеціальна ортогональна група ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ є підгрупою групи ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$, що складається з усіх елементів з визначником 1. На відміну від особливого випадку ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ група не зв'язна — вона має дві компоненти і є дві додаткові підгрупи зі скінченним індексом, а саме, зв'язна ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(p,q)}$ і ${\displaystyle \mathrm {O} ^{+}(p,q)}$, яка має дві компоненти.

Сигнатура форми визначає групу з точністю до ізоморфізму. Перестановка p з q призводить до заміни метрики на її заперечення, що дає ту ж саму групу. Якщо p або q дорівнює нулю, група ізоморфна звичайній ортогональній групі O(n). Далі ми припускаємо, що і p, і q додатні.