Група Лі

Групи Лі класифікуються за своїми алгебраїчними властивостями (простоти, напівпростоти, розв'язності, нільпотентності, комутативності), а також за топологічними властивостями (зв'язності, однозв'язності і компактності).

Цей клас неперервних груп перетворень є сукупність операторів ${\displaystyle T(a_{1},...,a_{k}),}$ диференційованих по скінченному числу параметрів ${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{k}.}$ Умова диференційовуваності є еквівалентною експониненційному представленню елемента групи

${\displaystyle T(a_{1},...,a_{k})=\exp[a_{i}x_{i}],}$

де інфінітезимальні оператори утворюють алгебру

${\displaystyle [x_{i}x_{k}]=f_{ik}^{l}x_{l}.}$

Знаходження незвідних зображень зводиться до визначення матричних елементів операторів алгебри, яка має певну структуру. Оператори представлення задовільняють співвідношенню ${\displaystyle T_{g_{1}g_{2}}=T_{g_{1}}T_{g_{2}},}$ де ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ - довільні елементи групи.

Формула, яка пов'язує скінченне перетворення із інфінітезимальними операторами, ${\displaystyle T=\exp[a_{i}x_{i}],}$ можна отримати, інтегруючи диференціальні рівняння групи, записані відносно параметрів ${\displaystyle a_{i},}$

${\displaystyle \partial T_{f}/\partial a_{j}(f)=\sum _{i=1}^{m}S_{ij}(f)x_{i}T_{f},}$

де ${\displaystyle m}$ - число параметрів групи. За умов ${\displaystyle S_{ij}(e)=\delta _{ij},}$ де ${\displaystyle e}$ - ідемпотент, отримуємо

${\displaystyle d/da_{j}\ln T_{f}=\sum _{i=1}^{m}S_{ij}x_{i}.}$

Рішення системи рівнянь

${\displaystyle {\begin{cases}d/da_{1}\ln T_{f}(a_{1},0,...,0)=\sum _{i=1}^{m}S_{i1}(a_{1},...,0)x_{i};\\...........................................\\d/da_{m}\ln T_{f}(0,...,a_{m})=\sum _{i=1}^{m}S_{im}(0,...,a_{m})x_{i}\end{cases}}}$

приводить до експониненційної форми зображення з визначення інфінітезимального оператора

${\displaystyle [\partial T_{f}/\partial a_{j}]_{j=1}=x_{j}.}$

Щоб запевнитися, що ${\displaystyle T}$ утворює групу, достатньо запевнитися, у справедливості рівності:

${\displaystyle T(a_{1},...,a_{m})T(-a_{1},...,-a_{m})=I,}$

${\displaystyle I}$ - одиничний оператор. Операторний вираз ${\displaystyle e^{A+B}}$ можна представити у вигляді

${\displaystyle e^{\int _{0}^{1}(A_{S}+B_{S})ds}=e^{\int _{0}^{1}A_{s}ds}e^{\int _{0}^{1}B_{S}ds},}$

де за допомогою ${\displaystyle s}$ здійснюється впорядкування операторних співмножників за допомогою умови ${\displaystyle A_{S}B_{S'},}$ якщо ${\displaystyle s>s',}$ та ${\displaystyle B_{S'}A_{S},}$ коли ${\displaystyle s'>s,}$ причому ${\displaystyle A_{S},B_{S'}}$ розглядаються як ${\displaystyle c}$-числа. Цей метод використовувався при розплутуванні виразу для матриці розсіяння, причому роль індексу ${\displaystyle s}$ відігравав час[1].

Підгрупа ${\displaystyle H}$ групи Лі ${\displaystyle G}$ називається її підгрупою Лі, якщо вона є підмноговидом в многовиді ${\displaystyle G}$. Не всяка підгрупа є підгрупою Лі: наприклад, підгрупа пар виду ${\displaystyle (e^{ix},e^{i\pi x})}$ у торі ${\displaystyle \{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$ не є підгрупою Лі. Підгрупа Лі завжди замкнута. У дійсному випадку вірно і зворотне: замкнута підгрупа є підгрупою Лі. У комплексному випадку це не так: бувають дійсні підгрупи Лі комплексної групи Лі, що мають непарну розмірність, наприклад, унітарні матриці в групі оборотних комплексних матриць ${\displaystyle 2\times 2}$.

Нехай ${\displaystyle H}$ — підгрупа Лі групи Лі ${\displaystyle G}$. Множину ${\displaystyle G/H}$ суміжних класів (байдуже, лівих або правих) можна єдиним чином наділити структурою диференційовного многовиду, так, щоб канонічна проекція була диференційовним відображенням. При цьому одержується локально тривіальне розшарування, і якщо ${\displaystyle H}$ — нормальна підгрупа, то факторгрупа буде групою Лі.

Нехай ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle H}$ — групи Лі над одним і тим же полем. Гомоморфізмом груп Лі називається відображення ${\displaystyle f\colon G\to H}$, що є гомоморфізмом груп і одночасно аналітичним відображенням многовидів. (Можна показати, що для виконання останньої умови досить неперервності ${\displaystyle f}$.) Композиція гомоморфізмів груп Лі знову буде гомоморфізмом груп Лі. Класи всіх дійсних і всіх комплексних груп Лі разом з відповідними гомоморфізмами утворюють категорії ${\displaystyle \operatorname {Lie} _{\mathbb {R} }}$ і ${\displaystyle \operatorname {Lie} _{\mathbb {C} }}$. Гомоморфізм груп Лі називається ізоморфізмом, якщо існує обернений гомоморфізм. Дві групи Лі, між якими існує ізоморфізм, як завжди в абстрактній алгебрі, називаються ізоморфними. Як завжди, групи Лі розрізняють лише з точністю до ізоморфізму. Наприклад, група Лі ${\displaystyle SO(2)}$ поворотів площини з операцією композиції і група Лі ${\displaystyle U(1)}$ комплексних чисел, рівних за модулем одиниці, з операцією множення, є ізоморфними.

Приклад ірраціональної обмотки тора показує, що образ підгрупи Лі при гомоморфізмі не завжди є підгрупою Лі. Проте прообраз підгрупи Лі при гомоморфізмі завжди є підгрупою Лі.

Гомоморфізм групи Лі ${\displaystyle G}$ над полем ${\displaystyle K}$ у групу ${\displaystyle GL(V)}$ невироджених лінійних перетворень векторного простору ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ називається представленням групи ${\displaystyle G}$ у просторі ${\displaystyle V}$.

Групи Лі часто виступають як симетрії якої-небудь структури на деякому многовиді, а тому природно, що вивчення дій груп на різних многовидах є важливим розділом теорії. Говорять, що група Лі G діє на гладкому многовиді M, якщо заданий гомоморфізм груп a: G → Diff M, де Diff M — група дифеоморфізмів M. Таким чином, кожному елементу g групи G повинне відповідати дифеоморфне перетворення a_g многовиду M, причому добутку елементів і зворотному елементу відповідають відповідно композиція дифеоморфізмів і обернений дифеоморфізм. Якщо з контексту зрозуміло, про яку дію йде мова, то образ a_g(m) точки m при дифеоморфізмі, що визначається елементом g, позначається просто gm.

Група Лі природно діє на собі множенням справа і зліва, а також спряженнями. Ці дії традиційно позначаються l, r і a:

l_g(h) = gh,

r_g(h) = hg,

a_g(h) = ghg⁻¹.

Іншим прикладом дії є дія групи Лі G на множині класів суміжності цієї групи Лі по деякій підгрупі N ≤ G:

g (hN) = (gh)N

Дія групи Лі G на диференційовному многовиді M, називається транзитивною, якщо будь-яку точку M можна перевести в будь-яку іншу за допомогою дії деякого елементу G. Многовид, на якому задано транзитивну дію групи Лі називається однорідним простором цієї групи. Однорідні простори відіграють важливу роль в багатьох розділах геометрії. Однорідний простір групи G дифеоморфний G / st x, де st x — стабілізатор довільної точки.

З довільною групою Лі можна пов'язати деяку алгебру Лі, яка повністю відображає локальну структуру групи, в усякому разі, якщо група Лі зв'язна.

Векторне поле на групі Лі G називається лівоінваріантним, якщо воно комутує з лівим множенням, тобто

V(l_g^* f)= l_g^* (Vf) для всіх g з G, і будь-якої диференційовної функції f.

Еквівалентно

dl_g (V_x) = V_gx для всіх x, y з G.

Очевидно, будь-яке лівоінваріантне векторне поле V на групі Лі повністю визначається своїм значенням V_e в одиниці. Навпаки, задавши довільний вектор V в дотичному просторі G_e до одиниці, можна поширити його лівим множенням по всій групі. Одержується взаємно однозначна відповідність між дотичним простором до групи в одиниці і простором лівоінваріантних векторних полів.

Дужка Лі [X,Y] лівоінваріантних векторних полів буде лівоінваріантним векторним полем. Тому G_e є алгеброю Лі. Ця алгебра називається алгеброю Лі групи G. Звичайно вона позначається відповідною малою готичною буквою ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

• Будь-яка абстрактна (дискретна топологічна) група э групою Лі по відношенню до гладкості, у якій вона є нульвимірним многовидом.
• Будь-який скінченновимірний лінійний простір є групою Лі по додаванню.
• Одинична окружність ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}:\,\,|z|=1,}$ точками якої є комплексні числа ${\displaystyle z=e^{i\theta },}$ є групою Лі по добуткові.
• Одинична сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ кватерніонів, точками якої є кватерніони ${\displaystyle {\mathfrak {q}},}$ для яких ${\displaystyle |{\mathfrak {q}}|=1.}$
• Якщо сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ є групою Лі, то необхідно ${\displaystyle n=1}$ або ${\displaystyle n=3}$, тому ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$та ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ є єдиними сферами, які припускають структуру групи Лі.
• Прямий добуток ${\displaystyle G\times H}$ топологічни (гладких) груп ${\displaystyle G,H}$ є топологічною (гладкою) групою. Зокрема, будь-який тор ${\displaystyle T^{n},\,\,n\geq 1.}$
• Групою Лі є повна лінійна група ${\displaystyle \mathrm {GL} (n),}$ а також ізоморфна їй група ${\displaystyle \mathrm {Aut} \,{\mathfrak {G}}}$ усіх автоморфізмів (невироджених лінійних операторів) довільного n-вимірного лінійного простору ${\displaystyle {\mathfrak {G}}.}$

Позначення Шенфліса та симетрії: T_d (E, 8C₃, 3C₂, 6S₄, 6σ_d); O_h: E, 8C₃, 6C₂', 6C₄, 3C₂, i, 6S₄, 8S₆

Приклади симетрії молекул (D_n , D_nd за Шенфлісом)

Дійсні групи Лі

Група Лі	Опис	Властивості	Алгебра Лі	Розмірність
${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	Евклідовий простір з операцією додавання	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	n
${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$	Ненульові дійсні числа з операцією множення	Комутативність; незв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {R} }$	1
${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$	Додатні дійсні числа з операцією множення	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {R} }$	1
${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$	Комплексні числа з модулем 1 і операцією множення	Комутативність; зв'язність, неоднозв'язність, компактність	${\displaystyle \mathbb {R} }$	1
${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$	Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n	незв'язність, некомпактність	${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$	n²
${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$	Дійсні матриці розмірності n×n з додатним визначником	Однозв'язність, некомпактність	${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$	n²
${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$	Спеціальна лінійна група: Дійсні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозвязність, некомпактність для n > 1	${\displaystyle sl(n,\mathbb {R} )}$	n²-1
${\displaystyle O(n,\mathbb {R} )}$	Ортогональна група: Ортогональні дійсні матриці	Незв'язність, компактність	${\displaystyle so(n,\mathbb {R} )}$	n(n — 1)/2

Комплексні групи Лі

Розмірність подано в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Група Лі	Опис	Властивості	Алгебра Лі	Розмірність
${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$	Евклідовий простір з операцією додавання	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$	n
${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$	Ненульові комплексні числа з операцією множення	Комутативність; неоднозв'язність, некомпактність	${\displaystyle \mathbb {C} }$	1
${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$	Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n	Однозвязність, некомпактність;	${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )}$	n²
${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$	Спеціальна лінійна група: комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозв'язність, некомпактність для n≥2	${\displaystyle sl(n,\mathbb {C} )}$	(n²-1)
${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$	Ортогональна група: Ортогональні комплексні матриці	Незв'язність, некомпактність для n≥2	${\displaystyle so(n,\mathbb {C} )}$	n(n-1)
${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$	Спеціальна ортогональна група: комплексні ортогональні матриці з визначником 1	Неоднозв'язність, некомпактність для n≥2	${\displaystyle so(n,\mathbb {C} )}$	n(n-1)
${\displaystyle U\left(n\right)}$	Унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n	Неоднозв'язність, компактність;	${\displaystyle u\left(n\right)}$	n²
${\displaystyle SU\left(n\right)}$	Спеціальна унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозв'язність, компактність	${\displaystyle su\left(n\right)}$	n²-1

• Алгебра Лі
• Алгебрична група
• Компактна група Лі
• Лінійна алгебрична група

• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
• Софус Лі. Теория групп преобразований. — Ижевск : РХД, 2011-2012. — 712+640 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
• Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. М.: ВИНИТИ. 1988
• Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
• Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9
• Helgason Sigurdur (1978), «Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces», Academic Press,
• Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0198596837
• P. Basarab-Horwath, V. Lahno, R. Zhdanov (2000) The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations

1. Г.А.Соколик - Групповые методы в теории элементарных частиц.