Лінійне відображення

• Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого ${\displaystyle W_{K}=K\!}$

${\displaystyle f:V_{K}\to K\!}$

множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до ${\displaystyle ~V}$, який теж є лінійним простором (позначається звичайно ${\displaystyle ~V^{*}}$)

• лінійне перетворення — лінійний оператор, для якого ${\displaystyle V_{K}=W_{K}\!}$

${\displaystyle f:V_{K}\to V_{K}\!}$

• Тотожний оператор — оператор ${\displaystyle x\mapsto x}$, що відображає кожен елемент простору ${\displaystyle V_{K}\!}$ в самого себе.
• Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору ${\displaystyle V_{K}\!}$ в нульовий елемент простору ${\displaystyle W_{K}\,.}$

• Якщо f:V→W і g:W→Z є лінійними відображеннями, то відображення g•f : V→Z також є лінійним.
• Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним.
• Якщо f₁:V→W і f₂:V→W є лінійними відображеннями, то відображення f₁+f₂ (визначене як (f₁+f₂)(x) = f₁(x) + f₂(x)) теж є лінійним.
• Якщо f:V→W є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.

В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.

• Ядром лінійного відображення ${\displaystyle f:V\to W\!}$ називається така підмножина ${\displaystyle V\!}$ що:

${\displaystyle \ker {(f)}=\{x\in V:f(x)=0\}}$

Ядро лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі ${\displaystyle V.\!}$

• Образом лінійного відображення ${\displaystyle f:V\to W\!}$ називається така підмножина ${\displaystyle W\!}$ що:

${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{w\in W:w=f(x),x\in V\}}$

Образ лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі ${\displaystyle W.\!}$

• Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:

${\displaystyle \dim(\ker {f})+\dim(\operatorname {im} {\,f})=\dim(V)}$

Число ${\displaystyle \dim(\operatorname {im} {\,f})}$ називається ранг ${\displaystyle f\!}$ і записується як ${\displaystyle \operatorname {rank} {(f)}}$ чи ${\displaystyle \operatorname {rk} {(f)}.}$ Якщо розмірності ${\displaystyle V\!}$ і ${\displaystyle W\!}$ скінченні і вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів. І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Якщо в просторі ${\displaystyle V\!}$ вибрано базис ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})\!}$, в просторі ${\displaystyle W\!}$ вибрано базис ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{m})\!}$, то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця

${\displaystyle A={\begin{Vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\&\cdots &\\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{Vmatrix}}}$

j-ий стовпчик якої складається з координат вектора ${\displaystyle Ae_{j}\!}$, тобто координат образу j-го базисного вектора

${\displaystyle Ae_{j}=(a_{1j}f_{1}+\ldots +a_{mj}f_{m})\!}$   в базисі ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{m}).\!}$

Координати ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{m})\!}$ образу ${\displaystyle Ax\!}$ вектора ${\displaystyle x\!}$ в базисі ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{m})\!}$ при лінійному відображенні ${\displaystyle A\!}$
виражаються через координати ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\!}$ вектора ${\displaystyle x\!}$ в базисі ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})\!}$ за формулою:

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{Vmatrix}}=A{\begin{Vmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{Vmatrix}}}$

• Теорія операторів
• Спектр оператора
• Скалярний добуток
• Гільбертів простір
• Евклідів простір
• Базис

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)