Ненавантажене резервування

Ненавантажене резервування — спосіб резервування елементів, при якому резервні елементи знаходяться у вимкненому стані і мають знехтовно малу інтенсивність відмови. У теорії систем з ненавантаженим резервуванням ця інтенсивність вважається рівною 0. Розрізняють невідновлювані і відновлювані системи з ненавантаженим резервуванням.

Невідновлювані системи. Хай система складається з ${\displaystyle \!n}$ основних елементів з густиною часу безвідмовної роботи ${\displaystyle \!\lambda e^{-\lambda t}\ ,\,t>0}$ і ${\displaystyle \!m}$ резервних елементів. Відмова системи наступає в мить, коли число елементів, що відмовили, приймає значення ${\displaystyle \!m+1}$ . Тоді час безвідмовної роботи системи має густину ймовірності ${\displaystyle \!\lambda n{\frac {\left(\lambda nt\right)^{m}}{m!}}e^{-\lambda nt}}$; середній час безвідмовної роботи ${\displaystyle \!{\frac {m+1}{\lambda n}}}$; ймовірність того, що система не відмовить за час ${\displaystyle \!t}$ складає ${\displaystyle \!e^{-\lambda nt}\sum \limits _{k=0}^{m}{\frac {\left(\lambda nt\right)^{k}}{k!}}}$

Відновлювані системи. Хай ${\displaystyle \!n}$, ${\displaystyle \!m}$, ${\displaystyle \!\lambda }$— ті ж параметри, що і в невідновлюваних системах, і елементи, що відмовили, відновлюються операторами, кожний з яких відновлює один елемент протягом випадкового часу з густиною ${\displaystyle \!\mu e^{-\lambda t}\ ,\,t>0}$

Позначимо через ${\displaystyle \!T_{k}}$ математичне сподівання часу до відмови системи за умови, що у момент ${\displaystyle \!t=0}$ число несправних елементів дорівнює ${\displaystyle \!k}$. Тоді ${\displaystyle \!T_{k}}$ визначається розв'язком системи рівнянь

${\displaystyle \!T_{k}={\frac {1}{\lambda n+\mu _{k}}}+{\frac {\lambda n}{\lambda n+\mu _{k}}}T_{k+1}+{\frac {\mu _{k}}{\lambda n+\mu _{k}}}T_{k-1},\,k=0,\,1,\,\ldots ,\,m,}$ де ${\displaystyle \!\mu _{k}=\mu k}$ при ${\displaystyle \!k\leq r}$ — ${\displaystyle \!\mu _{k}=\mu r}$ при ${\displaystyle \!k>r}$; ${\displaystyle \!T_{-1}=T_{m+1}=0}$. Якщо ${\displaystyle \!\lambda \ll \mu }$, то наближений вираз середнього часу між відмовами системи має вигляд ${\displaystyle \!\mu _{1},\,\ldots ,\,\mu _{m}/\left(\lambda n\right)^{m+1}.}$

Нехай система складається з одного основного і одного резервного елемента ${\displaystyle \!\xi }$— випадковий час безвідмовної роботи елемента, ${\displaystyle \!\alpha }$ — ймовірність відновлення резервного елемента за час ${\displaystyle \!\xi }$. Тоді при малих ${\displaystyle \!1-\alpha }$ її час безвідмовної роботи системи має розподіл, близький до розподілу з густиною ${\displaystyle \!\nu e^{-\nu t}}$, де ${\displaystyle \!\left(1-\alpha \right)/M\xi }$.

І. М. Коваленко