Математичне сподівання

• Нехай ${\displaystyle X}$ задає множину подій при підкиданні гральної кістки із шістьма сторонами. Результатом буде кількість точок на верхній грані після підкидання гральної кістки. Можливими значеннями, які прийматиме ${\displaystyle X}$ є 1, 2, 3, 4, 5, і 6, всі є рівноймовірними (кожне значення має ймовірність ¹⁄₆). Математичним сподіванням для ${\displaystyle X}$ буде

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.}$

Якщо підкинути гральну кістку ${\displaystyle n}$ разів і розрахувати середнє (середнє арифметичне) всіх результатів, із збільшенням ${\displaystyle n}$, середнє буде майже певне збігатися до значення сподівання. Цей факт відомий як закон великих чисел. Одним із прикладів послідовності десяти випадань гральної кістки є 2, 3, 1, 2, 5, 6, 2, 2, 2, 6, для якого середнє буде дорівнювати 3.1, що відрізняється від математичного сподівання 3.5 на число 0.4. Зближення є відносно повільним: ймовірність що середнє знаходитиметься в межах 3.5 ± 0.1 дорівнює 21.6% для десяти спроб, 46.1% для сотні спроб і 93.7% для тисячі спроб. Див. графік на якому показані середні для довших послідовностей кидання гральної кістки на якому видно як вони збігаються до математичного сподівання із значенням в 3.5. У загальному випадку, швидкість зближення можна приблизно розрахувати за допомогою, наприклад, нерівності Чебишова і теореми Беррі-Ессіна.

• При грі в рулетку невелика кулька може потрапити в одну із 38 пронумерованих секцій колеса, що розміщені по колу. Коли колесо розкручують кулька ударяється і рухається випадковим чином доки не зупиниться в одному з секторів. Нехай випадкова величина ${\displaystyle X}$ задає (грошовий) виграш при ставці в $1 на одне число ("пряма" ставка). Якщо ставка виграє (що трапиться із ймовірністю ¹⁄₃₈), виграш становитиме $35; в іншому випадку гравець втрачає ставку. Очікуваним прибутком від такої ставки буде

${\displaystyle \operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\$0.0526.}$

Тобто, ставка в $1 коштуватиме втраті $0.0526, точніше її сподіванням є -$0.0526.

Якщо ${\displaystyle A}$ є випадковою подією, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{A}]=\operatorname {P} (A),}$ де ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$ це індикаторна функція для множини ${\displaystyle A}$.

Доведення. За визначенням інтеграла Лебега для простої функції ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}={\mathbf {1} }_{A}(\omega )}$,

${\displaystyle \operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{A}]=1\cdot \operatorname {P} (A)+0\cdot \operatorname {P} (\Omega \setminus A)=\operatorname {P} (A).}$

Це твердження випливає із визначення інтеграла Лебега, якщо взяти до уваги, що ${\displaystyle X_{+}=Y_{+}}$, ${\displaystyle X_{-}=Y_{-}}$, і що заміна простої випадкової величини на множину із нульовою імовірністю не змінює математичного сподівання.

Якщо ${\displaystyle X}$ це випадкова величина, і ${\displaystyle X=c}$, де ${\displaystyle c\in [-\infty ,+\infty ]}$, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=c}$. Зокрема, для довільної випадкової величини ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X]]=\operatorname {E} [X]}$.

Оператор математичного сподівання ${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$ є лінійним в тому сенсі, що

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y],\\[6pt]\operatorname {E} [aX]&=a\operatorname {E} [X],\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є (довільними) випадковими величинами, і ${\displaystyle a}$ є скаляром.

Більш суворо, нехай ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ - випадкові величини, які мають визначені математичні сподівання (що відмінні від ${\displaystyle \infty -\infty }$).

• Якщо ${\displaystyle \operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y]}$ також визначене (тобто відмінне від ${\displaystyle \infty -\infty }$), тоді

${\displaystyle \operatorname {E} [X+Y]=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y].}$

• нехай ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ є скінченним, а ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ є скінченним скаляром. Тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [aX]=a\operatorname {E} [X].}$

Наступні твердження відносно випадкової величини ${\displaystyle X}$ - еквівалентні:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ існує і є скінченним.
• Обидва ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ і ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ є скінченними.
• ${\displaystyle \operatorname {E} [|X|]}$ скінченне.

Насправді, ${\displaystyle |X|=X_{+}+X_{-}}$. Відповідно до властивості лінійності, ${\displaystyle \operatorname {E} [|X|]=\operatorname {E} [X_{+}]+\operatorname {E} [X_{-}]}$. Вищенаведена рівність спирається на визначення інтегралу Лебега і вимірність ${\displaystyle X}$.

Завдяки цьому, вирази про те що "${\displaystyle X}$ є інтегрованою" і "математичне сподівання ${\displaystyle X}$ є скінченним" є зрештою взаємозамінними, якщо говорять про випадкову величину.

Якщо ${\displaystyle X\leq Y}$ (a.s.), і обидва ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ та ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$ існують, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq \operatorname {E} [Y]}$.

Зауваження. ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ and ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$ існую в тому розумінні, що ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$ and ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [Y_{+}],\operatorname {E} [Y_{-}])<\infty .}$

Доведення випливає із властивості лінійності і попередньої властивості, якщо задати ${\displaystyle Z=Y-X}$ і звернути увагу на те, що ${\displaystyle Z\geq 0}$ (майже скрізь).

Нехай ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є випадковими величинами, такими що ${\displaystyle |X|\leq Y}$ (майже скрізь) і ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]<\infty }$. Тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\neq \pm \infty }$.

Доведення. Завдяки не від'ємності ${\displaystyle |X|}$, ${\displaystyle \operatorname {E} |X|}$ існує, скінченне або нескінченне. Відповідно до властивості монотонності, ${\displaystyle \operatorname {E} |X|\leq \operatorname {E} [Y]<\infty }$, тож ${\displaystyle \operatorname {E} |X|}$ є скінченним, що в свою чергу як ми бачили буде еквівалентне тому, що ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ є скінченним.

Нижченаведене твердження буде використане для доведення властивості екстремальності для ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$.

Твердження. Якщо ${\displaystyle X}$ є випадковою величиною, тоді так само буде і ${\displaystyle X^{\alpha }}$, для будь-якого ${\displaystyle \alpha >0}$. Якщо в додаток до того, ${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\beta }|<\infty }$ і ${\displaystyle 0<\alpha <\beta }$, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\alpha }|<\infty }$.

Доведення.

Аби зрозуміти чому перше твердження є справедливим, зауважимо, що ${\displaystyle X^{\alpha }}$ є композицією із ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle x\mapsto x^{\alpha }}$. Оскільки це буде композицією двох вимірних функцій, то ${\displaystyle X^{\alpha }}$ також є вимірною. Аби довести друге твердження, визначимо ${\displaystyle Y(\omega )=\max(|X(\omega )|^{\beta },1).}$ Можна перевірити, що ${\displaystyle Y}$ є випадковою величиною і ${\displaystyle |X|^{\alpha }\leq Y}$. Відповідно до властивості невід'ємності, ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\int \limits _{\{\omega \ \mid \ |X(\omega )|^{\beta }\leq 1\}}Y\,dP+\int \limits _{\{\omega \ \mid \ |X(\omega )|^{\beta }>1\}}Y\,dP\\[6pt]&=\operatorname {P} {\bigl (}|X(\omega )|^{\beta }\leq 1{\bigr )}+\int \limits _{\{\omega \ \mid \ |X(\omega )|^{\beta }>1\}}|X|^{\beta }\,dP\\[6pt]&\leq 1+\operatorname {E} |X^{\beta }|<\infty .\end{aligned}}}$ Відповідно до властивості монотонності, ${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\alpha }|\leq \operatorname {E} [Y]\leq 1+\operatorname {E} |X^{\beta }|<\infty .}$

Вимога, що ${\displaystyle \operatorname {P} (\Omega )<\infty }$ є суттєвою. Як протилежний приклад розглянемо вимірний простір

${\displaystyle ([1,+\infty ),{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{[1,+\infty )}},\lambda ),}$

де ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{[1,+\infty )}}}$ це Борелівська ${\displaystyle \sigma }$-алгебра над інтервалом ${\displaystyle [1,+\infty ),}$ і ${\displaystyle \lambda }$ є лінійною мірою Лебега. Можна довести, що ${\displaystyle \textstyle \int _{[1,+\infty )}{\frac {1}{x}}\,dx=\infty ,}$ навіть якщо ${\displaystyle \textstyle \int _{[1,+\infty )}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=1.}$ (${\displaystyle \textstyle \int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx}$ і ${\displaystyle \textstyle \int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx}$ визначають міру ${\displaystyle \mu }$ над ${\displaystyle \textstyle [1,+\infty )=\cup _{n=1}^{\infty }[1,n].}$ Зважаючи на неперервність для ${\displaystyle \mu }$ і спростивши інтеграл Рімана для кожного скінченного інтервала ${\displaystyle [1,n]}$), отримаємо необхідне доведення.

Відповідно до того, що було доведено вище, якщо ${\displaystyle X}$ це випадкова змінна, тоді так само і ${\displaystyle X^{2}}$.

Твердження (властивість екстремальності для ${\displaystyle \operatorname {E} [X])}$). Нехай ${\displaystyle X}$ є випадковою величиною, і ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]<\infty }$. Тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ і ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$ є скінченними, а ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ найкраща апроксимація методом найменших квадратів для ${\displaystyle X}$ серед сталих. Зокрема,

• для кожного ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [X-c]^{2}\geq \operatorname {Var} [X];}$
• рівняння буде дійсним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle c=\operatorname {E} [X].}$

(${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$ позначає дисперсію величини ${\displaystyle X}$).

Пояснення (інтуїтивно зрозуміла інтерпретація властивості екстремальності). У простому розумінні, властивість екстремальності стверджує, що якщо існує задача передбачення результату випробування для випадкової величини ${\displaystyle X}$, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$, в деякому практичному сенсі, є найкращим закладом (передбачення) якщо немає попередньої інформації про результат. З іншого боку, якщо в результаті отриманого результату існує деяке уточнене знання ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, тоді — знов, в деякому практичному сенсі — передбачення можна покращити використовуючи умовні математичні сподівання ${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid {\mathcal {F}}]}$ (серед яких ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ є особливим випадком) замість ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$.

Доведення твердження. Відповідно до попередніх властивостей, ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ і ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} ^{2}[X]}$ обидва є скінченними, і

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X-c]^{2}&=\operatorname {E} [X^{2}-2cX+c^{2}]\\[6pt]&=\operatorname {E} [X^{2}]-2c\operatorname {E} [X]+c^{2}\\[6pt]&=(c-\operatorname {E} [X])^{2}+\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} ^{2}[X]\\[6pt]&=(c-\operatorname {E} [X])^{2}+\operatorname {Var} [X],\end{aligned}}}$

звідки випливає властивість екстремальності.

Якщо ${\displaystyle \operatorname {E} |X|=0}$, тоді ${\displaystyle X=0}$ (майже певно).

Для довільної випадкової величини буде вірною властивість ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle |\operatorname {E} [X]|\leq \operatorname {E} |X|}$.

Доведення. Відповідно до визначення інтеграла Лебега,

${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {E} [X]|&={\Bigl |}\operatorname {E} [X_{+}]-\operatorname {E} [X_{-}]{\Bigr |}\leq {\Bigl |}\operatorname {E} [X_{+}]{\Bigr |}+{\Bigl |}\operatorname {E} [X_{-}]{\Bigr |}\\[5pt]&=\operatorname {E} [X_{+}]+\operatorname {E} [X_{-}]=\operatorname {E} [X_{+}+X_{-}]\\[5pt]&=\operatorname {E} |X|.\end{aligned}}}$

Відмітимо, що цей самий результат можна довести за допомогою нерівності Єнсена.

В загальному випадку, оператор математичного сподівання не є мультиплікативним, тобто ${\displaystyle \operatorname {E} [XY]}$ не обов'язково дорівнюватиме ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y]}$. Насправді, нехай ${\displaystyle X}$ приймає значення 1 та -1 із імовірністю 0.5 кожне. Тоді

${\displaystyle \operatorname {E^{2}} [X]=\left({\frac {1}{2}}\cdot (-1)+{\frac {1}{2}}\cdot 1\right)^{2}=0,}$

і

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 1^{2}=1,{\text{ тож }}\operatorname {E} [X^{2}]\neq \operatorname {E^{2}} [X].}$

Величина, на яку відрізняється мультиплікативність називається коваріацією:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y].}$

Однак, якщо випадкові величини ${\displaystyle X\in (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},\operatorname {P} _{1})}$ і ${\displaystyle Y\in (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},\operatorname {P} _{2})}$ є незалежними, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}$, та ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=0}$.

Нехай ${\displaystyle \left([0,1],{\mathcal {B}}_{[0,1]},{\mathrm {P} }\right)}$ задає ймовірнісний простір, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{[0,1]}}$ є Борелівською ${\displaystyle \sigma }$-алгеброю над ${\displaystyle [0,1]}$ і ${\displaystyle {\mathrm {P} }}$ є лінійною мірою Лебега. Для ${\displaystyle i\geq 1,}$ визначимо послідовність випадкових величин

${\displaystyle X_{i}=i\cdot {\mathbf {1} }_{\left[0,{\frac {1}{i}}\right]}}$

і випадкову величину

${\displaystyle X={\begin{cases}+\infty &{\text{якщо}}\ x=0\\0&{\text{в інших випадках.}}\end{cases}}}$

в інтервалі ${\displaystyle [0,1]}$, і де ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{S}}$ є індикаторною функцією над множиною ${\displaystyle S\subseteq [0,1]}$.

Для кожного ${\displaystyle x\in [0,1],}$ при тому як ${\displaystyle i\to +\infty ,}$ ${\displaystyle X_{i}(x)\to X(x),}$ і

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]=i\cdot {\mathrm {P} }\left(\left[0,{\frac {1}{i}}\right]\right)=i\cdot {\dfrac {1}{i}}=1,}$

тож ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\operatorname {E} [X_{i}]=1.}$ З іншого боку, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } (\{0\})=0,}$ і таким чином ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]=0.}$

В загальному випадку, оператор математичного сподівання не ${\displaystyle \sigma }$-адитивний, тобто

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]\neq \sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$

Розглянемо обернений приклад, нехай ${\displaystyle \left([0,1],{\mathcal {B}}_{[0,1]},{\mathrm {P} }\right)}$ є ймовірнісним простором, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{[0,1]}}$ це Борелівська ${\displaystyle \sigma }$-алгебра у інтервалі ${\displaystyle [0,1]}$ і ${\displaystyle {\mathrm {P} }}$ це лінійна міра Лебега. Визначимо послідовність випадкових величин ${\displaystyle \textstyle X_{i}=(i+1)\cdot {\mathbf {1} }_{\left[0,{\frac {1}{i+1}}\right]}-i\cdot {\mathbf {1} }_{\left[0,{\frac {1}{i}}\right]}}$ у ${\displaystyle [0,1]}$, де ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{S}}$ задає індикаторну функцію над множиною ${\displaystyle S\subseteq [0,1]}$. Для поточкових сум, матимемо що

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}X_{i}=(n+1)\cdot {\mathbf {1} }_{\left[0,{\frac {1}{n+1}}\right]},}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }X_{i}(x)={\begin{cases}+\infty &{\text{якщо}}\ x=0\\0&{\text{в інших випадках.}}\end{cases}}}$

Відповідно до скінченності адитивності,

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}]=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} [X_{i}]=\lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{n}X_{i}\right]=1.}$

З іншого боку, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } (\{0\})=0,}$ і тому

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]=0\neq 1=\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$

Нехай ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=0}^{\infty }}$ - невід'ємні випадкові величини. Із теореми про монотонну збіжність випливає, що

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$

Нерівність Коші — Буняковського стверджує, що

${\displaystyle (\operatorname {E} [XY])^{2}\leq \operatorname {E} [X^{2}]\cdot \operatorname {E} [Y^{2}].}$

Для невід'ємної випадкової величини ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle a>0}$, нерівність Маркова стверджує, що

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}.}$

Нехай ${\displaystyle X}$ є довільною випадковою величиною із скінченним математичним сподіванням ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ і скінченною дисперсією ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]\neq 0}$. Нерівність Чебишова стверджує що, для будь-якого дійсного числа ${\displaystyle k>0}$,

${\displaystyle \operatorname {P} {\Bigl (}{\Bigl |}X-\operatorname {E} [X]{\Bigr |}\geq k{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

Нехай функція ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$ є Борелівською опуклою функцією і ${\displaystyle X}$ - випадкова величина, для якої ${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$. Нерівність Єнсена стверджує, що

${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).}$

Примітка 1. Математичне сподівання ${\displaystyle \operatorname {E} (f(X))}$ є добре визначеним навіть якщо ${\displaystyle X}$ може приймати нескінченні значення. Насправді, ${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$ передбачає, що ${\displaystyle X\neq \pm \infty }$ (майже певно), тому випадкова величина ${\displaystyle f(X(\omega ))}$ майже певно є визначеною, і таким чином є достатньо інформації для розрахунку ${\displaystyle \operatorname {E} (f(X))}$.

Примітка 2. Нерівність Єнсена передбачає, що ${\displaystyle |\operatorname {E} [X]|\leq \operatorname {E} |X|}$ оскільки, функція абсолютного значення є опуклою.

Нехай ${\displaystyle 0<s<t}$. Нерівність Ляпунова стверджує, що

${\displaystyle {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{s}{\Bigr )}^{1/s}\leq \left(\operatorname {E} |X|^{t}\right)^{1/t}.}$

Доведення. Застосувавши Нерівність Єнсена до ${\displaystyle |X|^{s}}$ і ${\displaystyle g(x)=|x|^{t/s}}$, отримаємо ${\displaystyle {\Bigl |}\operatorname {E} |X^{s}|{\Bigr |}^{t/s}\leq \operatorname {E} |X^{s}|^{t/s}=\operatorname {E} |X|^{t}}$. Знайшовши ${\displaystyle t}$-ий корінь для кожної сторони отримаємо те, що необхідно було довести.

Наслідок.

${\displaystyle \operatorname {E} |X|\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{2}{\Bigr )}^{1/2}\leq \cdots \leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{n}{\Bigr )}^{1/n}\leq \cdots }$

Нехай ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$ задовольняють умовам ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$, і ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$. Нерівність Гельдера стверджує, що

${\displaystyle \operatorname {E} |XY|\leq (\operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(\operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.}$

Нехай ${\displaystyle p}$ є цілим числом, що задовольняє умові ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$. Крім того, нехай ${\displaystyle \operatorname {E} |X|^{p}<\infty }$ і ${\displaystyle \operatorname {E} |Y|^{p}<\infty }$. тоді відповідно до нерівності Мінковського, ${\displaystyle \operatorname {E} |X+Y|^{p}<\infty }$ і

${\displaystyle {\Bigl (}\operatorname {E} |X+Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\Bigr )}^{1/p}+{\Bigl (}\operatorname {E} |Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}.}$

Нехай послідовність випадкових величин ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ і випадкових величин ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ визначені у одному і тому ж ймовірносному просторі ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\operatorname {P} ).}$ Припустимо, що

• всі математичні сподівання ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}],}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X],}$ та ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$ є визначеними (відрізняються від ${\displaystyle \infty -\infty }$);
• ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]>-\infty$ ;}
• для кожного ${\displaystyle n,}$

${\displaystyle -\infty \leq Y\leq X_{n}\leq X_{n+1}\leq +\infty \quad {\hbox{(a.s.)}};}$