Нескінченно мала величина

Послідовність ${\displaystyle a_{n}}$ називається нескінченно малою, якщо ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$. Наприклад, послідовність чисел ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}$ — нескінченно мала.

Це ж означення можна викласти і в іншому формулюванні. Послідовність ${\displaystyle a_{n}}$ називається нескінченно малою, якщо вона по абсолютному значенню стає і залишається меншою як завгодно малого наперед заданого числа ε > 0, починаючи з деякого місця.

Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

• Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала
• Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала
• Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала
• Відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність

Границя нескінченно малої

Постійне число а називається границею послідовності ${\displaystyle x_{n}}$, якщо різницею між ними є нескінченно мала величина.

Нескінченно малі величини порівнюють між собою по характеру їх наближення до нуля.

• Якщо відношення ${\displaystyle {\tfrac {\beta }{\alpha }}}$ (а з ним і ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}}$) мають скінченну і відмінну від нуля границю, то нескінченно малі ${\displaystyle \alpha }$ та

${\displaystyle \beta }$ вважаються величинами одного порядку.

• Якщо ж відношення ${\displaystyle {\tfrac {\beta }{\alpha }}}$ само виявляється нескінченно малою (а зворотне відношення ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}}$ нескінченно великою), то нескінченно мала ${\displaystyle \beta }$ вважається величиною вищого порядку малості, ніж нескінченно мала ${\displaystyle \alpha }$, та одночасно нескінченно мала ${\displaystyle \alpha }$ буде нижчого порядку малості, ніж нескінченно мала ${\displaystyle \beta }$.

Якщо нескінченно мала ${\displaystyle \beta }$ виявляється вищого порядку, ніж нескінченно мала ${\displaystyle \alpha }$, то цей факт записують так: ${\displaystyle \beta =o(\alpha )}$

При потребі в точнішій порівняльній характеристиці поводження нескінченно малих, у виразі їх порядків числами, вибирають в ролі "еталона" одну з нескінченно малих, її називають основною. Далі зі ступенів основної нескінченно малої ${\displaystyle \alpha }$ (будемо вважати, що ${\displaystyle \alpha >0}$) з різними додатніми показниками, ${\displaystyle \alpha ^{k}}$, складають як би шкалу для оцінки нескінченно малих складнішої природи.

• Домовляються вважати нескінченно малу ${\displaystyle \beta }$ величиною к-го порядку (відносно основної нескінченно малої ${\displaystyle \alpha }$), якщо ${\displaystyle \beta }$ та ${\displaystyle \alpha ^{k}}$ (k > 0) будуть величинами одного порядку, тобто якщо відношення ${\displaystyle {\tfrac {\beta }{\alpha ^{k}}}}$ має кінцеву та відмінну від нуля границю.

• Нескінченно малі ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$ вважаються еквівалентними (в знаках ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$), якщо їх різниця ${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha }$ є величиною вищого порядку, ніж кожна з нескінченно малих ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$:

${\displaystyle \gamma =o(\alpha )}$ та ${\displaystyle \gamma =o(\beta )}$

Розглянемо дві еквівалентні нескінченно малі ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$, так що ${\displaystyle \beta =\alpha +\gamma }$, де ${\displaystyle \gamma =o(\alpha )}$. Якщо наближено припустити ${\displaystyle \beta =\alpha }$, то - в міру зменшення обох величин - прагне до нуля не тільки абсолютна похибка цієї заміни, позначена як ${\displaystyle \left|\gamma \right|}$, але і відносна похибка, що дорівнює ${\displaystyle \left|{\tfrac {\gamma }{\alpha }}\right|}$. Іншими словами, при достатньо малих значеннях ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$ можна зі скільки завгодно великою відносною точністю взяти, що ${\displaystyle \beta =\alpha }$. На цьому базується, при наближених викладках, заміна складних нескінченно малих еквівалентними їм простими.

Друге означення еквівалентності (рівносильне першому):

• Для того, щоб дві нескінченно малі ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$ були еквівалентні, необхідно та достатньо, щоб було ${\displaystyle \lim {\tfrac {\beta }{\alpha }}=1}$

Доведення:

Нехай спочатку виконується дане співвідношення, так що

Тоді

буде величиною вищого порядку, ніж ${\displaystyle \alpha }$, тому що

Обернено, нехай тепер ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$ еквівалентні, тобто ${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha }$ нескінченно мала вищого порядку, ніж ${\displaystyle \alpha }$. Наслідком цього маємо

Що і потрібно було довести.

Якщо вибрана основна нескінченно мала ${\displaystyle \alpha }$, то найпростішими нескінченно малими будемо вважати величини вигляду ${\displaystyle c*\alpha ^{k}}$, де с - постійний коефіцієнт і k > 0. Нехай нескінченно мала ${\displaystyle \beta }$ буде k-го порядку відносно ${\displaystyle \alpha }$, тобто

Де с - скінченне та відмінне від нуля число. Тоді

і нескінченно малі ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$ виявляються еквівалентними: ${\displaystyle \beta \sim c\alpha ^{k}}$.

Ця найпростіша нескінченно мала ${\displaystyle c\alpha ^{k}}$, еквівалентна даній нескінченно малій ${\displaystyle \beta }$, називається її головною частиною (або головним членом)