Сума

Часто для скорочення суму з n доданків a_k, a_k+1, …, a_N позначають великою грецькою буквою Σ (сигма):

${\displaystyle a_{k}+a_{k+1}+...+a_{N}=\sum _{i=k}^{N}a_{i}}$

Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою a_i по i від k до N.
Для зручності замість ${\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}}$ інколи пишуть ${\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}}$, де ${\displaystyle P(i)\ }$ — деяке відношення для ${\displaystyle i\ }$, таким чином ${\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}}$ це скінченна сума всіх ${\displaystyle a_{i}\ }$, де ${\displaystyle i\in Z:P(i)\ }$
Властивості визначеної суми:

1. ${\displaystyle \left(\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{i}b_{j}\right)}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{ij}=\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{ij}}$
3. ${\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}+\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}b_{i}}$
4. ${\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}}$

1. Сума арифметичної прогресії:

   ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}$

2. Сума геометричної прогресії:

   ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}$

3. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}$

1. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}$

1. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}$

1. • При ${\displaystyle p=10\ }$ отримуємо ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}$, а це послідовність рівнянь наступного вигляду:
     ${\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}$

Невизначеною сумою a_i по i називається така функція f(i), яка позначається ${\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}}$, що ${\displaystyle \forall if(i+1)-f(i)=a_{i+1}}$.

Якщо знайдена невизначена сума ${\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}=f(i)}$, тоді ${\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}=f(N+1)-f(k)}$. 

Латинське слово summa перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» (1489 рік)^{[джерело?]}.

Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.

Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування.

• Добуток
• Контрольна сума