Границя

Границя — одне з основних понять функціонального аналізу (а також математичного аналізу, який є скінченновимірним випадком функціонального), яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення. Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.

Границя послідовності

Стале число $a$ називають границею послідовності (варіанти) $x=x_{n}$ , якщо для кожного додатного числа $\varepsilon$ , скільки б малим воно не було, існує такий номер $N$ , що всі значення $x_{n}$ , в яких номер $n>N$ , задовольняють нерівність

|x_{n}-a|<\varepsilon

Той факт, що $a$ є границею варіанти, позначають так: $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a$ або просто $\lim x=a$ чи $x_{n}\rightarrow a,n\rightarrow \infty$ . Номер $N$ залежить від вибору числа $\epsilon$ . При зменшенні $\varepsilon$ число $N$ буде збільшуватись. Тобто, чим більш близьких значень $x_{n}$ до $a$ вимагати, тим ймовірніше більш далеких значення ряду доведеться розглядати.

Границя функції


Точка $x$ знаходиться в межах $δ$ одиниць $c$ , $f (x)$ — в межах $ε$ одиниць $L$ .		Для всіх $x > S$ , $f (x)$ перебуває в межах $ε$ із $L$ .

Означення за Коші

Нехай $A\subset \mathbf {R} ,\quad f:A\to \mathbf {R}$ , $x_{0}$ — гранична точка множини A. Число a називають границею функції $f$ у точці $x_{0}$ , якщо

\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|<\varepsilon

Позначення:

a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}

або

f(x)\to a

при

x\to x_{0}

Означення за Гейне

Число $A$ називають границею функції $f(x)$ в точці $x_{0}$ , якщо для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ , що збігається до числа $x_{0}$ , відповідна послідовність значеннь функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $A$ .

Див. також

Границя функції в точці
Верхня і нижня границі
Границя інтегральних сум
Границя послідовності множин
Границя індуктивна
Границя проективна
Межа (значення)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.