Ознака Веєрштраса

Нехай ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ послідовність функцій дійсної чи комплексної змінної визначених на множині ${\displaystyle A}$ і існують такі невід'ємні дійсні числа ${\displaystyle M_{n}}$ що

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

для всіх ${\displaystyle n}$≥${\displaystyle 1}$ і всіх ${\displaystyle x\in A}$. Якщо ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$

є збіжним, то функціональний ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

є абсолютно і рівномірно збіжним на ${\displaystyle A}$.

Позначимо ${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

Оскільки ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$ є збіжним i M_n ≥ 0 для всіх n, згідно ознаки Коші

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall n>m>N:\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .}$

Для вибраного N,

${\displaystyle \forall x\in A:\forall n>m>N}$

${\displaystyle \left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .}$

Тобто часткова сума ряду є рівномірно збіжною. За визначенням ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$ теж є рівномірно збіжним.

• Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз: Підручник. — Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. — 416 с.
• Дороговцев Я.В. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)
• Rudin, Walter (May 1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1.
• E. T. Whittaker, G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, ст. 49.